UM NOVO RECORDE NA MULTIPLICAÇÃO DE GRADES DE NÚMEROS

Multiplicar duas matrizes — grades de números — é uma das operações mais básicas da computação. Feito do jeito escolar, o custo de multiplicar duas grades de n por n cresce como n³. O algoritmo de Volker Strassen, de 1969, foi o primeiro a fazer melhor — “subcúbico”, nas palavras do artigo — e desde então os matemáticos medem o progresso com um único número: o expoente ω (ômega), a menor potência de n que basta à medida que as grades crescem.

Strassen o levou para baixo de 2,81. Décadas de trabalho, listadas no artigo, o empurraram até cerca de 2,37, com passos cada vez menores. Em 2026, Emilien Dupont e colegas chegaram a 2,371177. Reza Zadeh, da empresa Matroid, Inc., agora prova que ω < 2,37115924.

Tabela com anos, autores e limites superiores do expoente da multiplicação de matrizes, de 2,807 em 1969 a 2,37115924 em 2026.

Algumas melhorias do limite superior de ω, de Strassen em 1969 até este artigo. — Tabela 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

Uma receita com 212.820 ajustes

Esses recordes não vêm de um truque mais engenhoso para grades pequenas. Eles vêm de um objeto algébrico chamado tensor de Coppersmith–Winograd, que pode ser recortado e recombinado, de forma recursiva, em muitos produtos de matrizes independentes. A maneira de recortá-lo é governada por um enorme conjunto de escolhas: distribuições de probabilidade, penalidades de entropia e tamanhos de matrizes definidos nível após nível. Qualquer conjunto válido de escolhas dá um limite válido; a arte é encontrar um bom.

Apoiando-se no arcabouço de Josh Alman e colegas e na formulação de Dupont e colegas, Zadeh ajustou 212.820 números de uma só vez, com três refinamentos:

Reescala por importância. Algumas peças da construção aparecem só raramente, então o seu efeito no resultado é minúsculo e um otimizador mal as move. Cada número foi reescalado de acordo com o peso que a sua peça carrega.
Seis botões para os gargalos. O expoente final é fixado pela mais fraca de três grandezas concorrentes em três etapas. Uma correção à parte usou apenas seis controles para mantê-las equilibradas.
Exportação exata. A receita final foi convertida em frações exatas com denominadores de 2⁹⁶.

Prova por verificação

O limite é uma prova assistida por computador. Um programa curto, que usa apenas a biblioteca padrão do Python — sem rede, sem modelo, sem pacote extra —, reconstrói cada distribuição a partir das frações exatas e avalia o resultado com arredondamento garantido. Ele constata que a grandeza-chave é positiva, por cerca de 8,5 bilionésimos, o que prova o limite. O autor ressalta o que isso não cobre: o programa é um código auditável, não uma formalização da teoria inteira num assistente de provas, e a busca foi local, sem nenhuma pretensão de que a receita seja a melhor possível.

O autor também escreve que ferramentas de IA generativa, não nomeadas, auxiliaram a exploração numérica, o software e o manuscrito, e que o código inicial se apoiou em notas computacionais compartilhadas publicamente por Eric Naslund. Um certificado computacional público separado, divulgado em 5 de outubro de 2026, tinha chegado a 2,371169353; o novo valor é ainda menor.

Mais rápido, em teoria

O ganho em relação a Dupont e colegas é de 0,00001776 no expoente. Como todos os limites obtidos dessa forma, a garantia é assintótica: o expoente sozinho não diz a partir de que tamanho de matriz o novo algoritmo realmente superaria os existentes. O que ele muda é a melhor resposta conhecida a uma pergunta que corre desde 1969 — com que rapidez, em princípio, é possível multiplicar grades de números?