எண் அட்டவணைகளைப் பெருக்குவதில் ஒரு புதிய சாதனை

இரண்டு அணிகளைப் — எண் அட்டவணைகளைப் — பெருக்குவது கணினியியலின் மிக அடிப்படையான செயல்பாடுகளில் ஒன்று. பள்ளிப் பாடநூல் முறையில் செய்தால், இரண்டு n-க்கு n அட்டவணைகளைப் பெருக்குவதன் செலவு n³ போல வளர்கிறது. வோல்கர் ஸ்ட்ராசனின் 1969 வழிமுறையே இதைவிடச் சிறப்பாகச் செய்த முதல் வழிமுறை — ஆய்வுக்கட்டுரையின் சொற்களில் “கனத்துக்குக் கீழான” (subcubic) — அன்றுமுதல் கணிதவியலாளர்கள் முன்னேற்றத்தை ஒரே எண்ணால் அளக்கின்றனர்: அட்டவணைகள் பெரிதாகும்போது போதுமான n-இன் மிகச்சிறிய அடுக்கான ω (ஒமேகா).

ஸ்ட்ராசன் அதை 2.81-க்குக் கீழே கொண்டுவந்தார். ஆய்வுக்கட்டுரையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள பல தசாப்தப் பணி, மேலும் மேலும் சிறிய அடிகளில், அதை ஏறக்குறைய 2.37 வரை இறக்கியது. 2026-இல், எமிலியன் டூபோன் மற்றும் சக ஆய்வாளர்கள் 2.371177-ஐ எட்டினர். Matroid, Inc. நிறுவனத்தைச் சேர்ந்த ரேசா சாதே இப்போது ω < 2.37115924 என்று நிறுவுகிறார்.

1969-இல் ஸ்ட்ராசன் முதல் இந்த ஆய்வுக்கட்டுரை வரை, ω-இன் மேல் வரம்பில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மேம்பாடுகள். — Table 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

212,820 அமைப்புகள் கொண்ட ஒரு செய்முறை

இந்தச் சாதனைகள் சிறிய அட்டவணைகளுக்கான இன்னும் புத்திசாலித்தனமான ஓர் உத்தியிலிருந்து வருவதில்லை. அவை காப்பர்ஸ்மித்–வினோகிராட் டென்சார் (Coppersmith–Winograd tensor) எனப்படும் ஓர் இயற்கணிதப் பொருளிலிருந்து வருகின்றன; அதைத் துண்டாக்கி மீண்டும் இணைத்து, மீள்சுருளாக (recursively), பல சுயாதீன அணிப் பெருக்கல்களாக மாற்ற முடியும். அதை எப்படித் துண்டாக்குவது என்பதை ஒரு மாபெரும் தேர்வுத் தொகுப்பு தீர்மானிக்கிறது: நிலை நிலையாக வரையறுக்கப்படும் நிகழ்தகவுப் பரவல்கள், என்ட்ரோபி அபராதங்கள், அணி அளவுகள். செல்லுபடியான எந்தத் தேர்வுத் தொகுப்பும் செல்லுபடியான ஒரு வரம்பைத் தருகிறது; நல்ல ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்பதே கலை.

ஜோஷ் ஆல்மன் மற்றும் சக ஆய்வாளர்களின் கட்டமைப்பையும், டூபோன் மற்றும் சக ஆய்வாளர்களின் உருவாக்கத்தையும் அடிப்படையாகக் கொண்டு, சாதே 212,820 எண்களை ஒரே நேரத்தில் மூன்று மேம்பாடுகளுடன் சீரமைத்தார்:

• முக்கியத்துவத்துக்கு ஏற்ப மறுஅளவீடு. கட்டமைப்பின் சில பகுதிகள் அரிதாகவே தோன்றுகின்றன; எனவே முடிவின் மீது அவற்றின் தாக்கம் மிகச் சிறியது; ஓர் உகப்பாக்கி அவற்றை அரிதாகவே நகர்த்துகிறது. ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் பகுதி சுமக்கும் எடைக்கு ஏற்ப மறுஅளவீடு செய்யப்பட்டது.
• இடையூறுகளுக்கு ஆறு சீராக்கிகள். இறுதி அடுக்கு, மூன்று கட்டங்களில் போட்டியிடும் மூன்று அளவுகளில் மிகப் பலவீனமானதால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அவற்றைச் சமநிலையில் வைக்க ஒரு தனித் திருத்தம் ஆறு கட்டுப்பாடுகளை மட்டுமே பயன்படுத்தியது.
• துல்லியமான ஏற்றுமதி. இறுதிச் செய்முறை 2⁹⁶ பகுதி எண்கள் கொண்ட துல்லியமான பின்னங்களாக மாற்றப்பட்டது.

சரிபார்ப்பின் மூலம் நிறுவல்

இந்த வரம்பு கணினி உதவியுடனான ஒரு நிறுவல். Python-இன் நிலையான நூலகத்தை மட்டுமே பயன்படுத்தும் ஒரு சிறிய நிரல் — இணையம் இல்லை, மாதிரி இல்லை, கூடுதல் தொகுப்பு இல்லை — துல்லியமான பின்னங்களிலிருந்து ஒவ்வொரு பரவலையும் மீண்டும் கட்டமைத்து, உத்தரவாதமான முழுமையாக்கலுடன் (rounding) முடிவைக் கணக்கிடுகிறது. முக்கிய அளவு ஏறக்குறைய 8.5 பில்லியனில் ஒரு பங்குகள் அளவுக்கு நேர்மறையாக இருப்பதை அது கண்டறிகிறது; இதுவே வரம்பை நிறுவுகிறது. இது எதை உள்ளடக்கவில்லை என்பதை ஆசிரியர் வலியுறுத்துகிறார்: இந்த நிரல் தணிக்கை செய்யக்கூடிய குறியீடு; முழுக் கோட்பாட்டையும் ஒரு நிறுவல் உதவியில் முறைப்படுத்தியது அல்ல; தேடலும் உள்ளூர் அளவிலானது; இந்தச் செய்முறையே இயன்ற மிகச் சிறந்தது என்ற கூற்று எதுவும் இல்லை.

பெயர் குறிப்பிடப்படாத உருவாக்கும் AI கருவிகள் எண்சார் ஆய்வு, மென்பொருள், கையெழுத்துப் பிரதி ஆகியவற்றுக்கு உதவியதாகவும், ஆரம்பக் குறியீடு எரிக் நாஸ்லண்ட் பொதுவில் பகிர்ந்த கணக்கீட்டுக் குறிப்புகளைச் சார்ந்திருந்ததாகவும் ஆசிரியர் எழுதுகிறார். 2026 அக்டோபர் 5 அன்று வெளியிடப்பட்ட, தனியான ஒரு பொதுக் கணினிச் சான்றிதழ் 2.371169353-ஐ எட்டியிருந்தது; புதிய மதிப்பு அதைவிடவும் குறைவு.

கோட்பாட்டளவில் வேகமானது

டூபோன் மற்றும் சக ஆய்வாளர்களை விட, அடுக்கில் ஆதாயம் 0.00001776. இந்த வழியில் பெறப்படும் எல்லா வரம்புகளையும் போல, உத்தரவாதம் அணுகுநிலை சார்ந்தது: எந்த அணி அளவிலிருந்து புதிய வழிமுறை உண்மையில் தற்போதுள்ளவற்றை வெல்லும் என்பதை அடுக்கு மட்டுமே சொல்வதில்லை. அது மாற்றுவது, 1969 முதல் நீடிக்கும் ஒரு கேள்விக்கு அறியப்பட்ட சிறந்த விடையை — கொள்கையளவில், எண் அட்டவணைகளை எவ்வளவு வேகமாகப் பெருக்க முடியும்?