সংখ্যার গ্রিড গুণ করার নতুন রেকর্ড

দুটি ম্যাট্রিক্স — সংখ্যার গ্রিড — গুণ করা কম্পিউটিংয়ের সবচেয়ে মৌলিক কাজগুলোর একটি। পাঠ্যবইয়ের পদ্ধতিতে দুটি n-বাই-n গ্রিড গুণ করার খরচ n³-এর মতো বাড়ে। ফোলকার স্ট্রাসেনের ১৯৬৯ সালের অ্যালগরিদম প্রথম এর চেয়ে ভালো করেছিল — গবেষণাপত্রের ভাষায় “সাবকিউবিক” — আর তখন থেকে গণিতবিদেরা অগ্রগতি মাপেন একটিমাত্র সংখ্যা দিয়ে: সূচক ω (ওমেগা), অর্থাৎ গ্রিড বড় হতে থাকলে n-এর যে ক্ষুদ্রতম ঘাত যথেষ্ট।

স্ট্রাসেন একে ২.৮১-এর নিচে নামান। গবেষণাপত্রে তালিকাভুক্ত কয়েক দশকের কাজ একে প্রায় ২.৩৭-এ ঠেলে এনেছে, প্রতিটি পদক্ষেপ আগেরটির চেয়ে ছোট। ২০২৬ সালে এমিলিয়ঁ দ্যুপোঁ ও তাঁর সহকর্মীরা পৌঁছান ২.৩৭১১৭৭-এ। এখন Matroid, Inc. কোম্পানির রেজা জাদে প্রমাণ করেছেন যে ω < 2.37115924।

ω-এর ঊর্ধ্বসীমায় বাছাই করা কিছু উন্নতি, ১৯৬৯ সালে স্ট্রাসেন থেকে এই গবেষণাপত্র পর্যন্ত। — সারণি ১, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

২,১২,৮২০টি সেটিংয়ের একটি রেসিপি

এই রেকর্ডগুলো ছোট গ্রিডের জন্য কোনো চতুরতর কৌশল থেকে আসে না। এগুলো আসে কপারস্মিথ–উইনোগ্রাড টেনসর (Coppersmith–Winograd tensor) নামের একটি বীজগাণিতিক বস্তু থেকে, যাকে পুনরাবৃত্তভাবে কেটে আবার জুড়ে অনেকগুলো স্বাধীন ম্যাট্রিক্স গুণফলে পরিণত করা যায়। কীভাবে কাটা হবে, তা নির্ধারণ করে বিপুল একগুচ্ছ পছন্দ: স্তরে স্তরে সংজ্ঞায়িত সম্ভাবনা-বণ্টন, এনট্রপি জরিমানা ও ম্যাট্রিক্সের আকার। যেকোনো বৈধ পছন্দের গুচ্ছ একটি বৈধ সীমা দেয়; দক্ষতা হলো একটি ভালো গুচ্ছ খুঁজে বের করা।

জশ অলম্যান ও সহকর্মীদের কাঠামো এবং দ্যুপোঁ ও সহকর্মীদের সূত্রায়ণের ওপর ভিত্তি করে, জাদে একসঙ্গে ২,১২,৮২০টি সংখ্যা টিউন করেছেন, তিনটি পরিমার্জনসহ:

• গুরুত্ব অনুযায়ী পুনঃস্কেলিং। নির্মাণের কিছু অংশ কদাচিৎ আসে, তাই ফলাফলে তাদের প্রভাব নগণ্য এবং অপটিমাইজার তাদের প্রায় নাড়ায়ই না। প্রতিটি সংখ্যাকে তার অংশটি কতটা ওজন বহন করে সেই অনুযায়ী পুনঃস্কেল করা হয়েছে।
• বাধাগুলোর জন্য ছয়টি ডায়াল। চূড়ান্ত সূচকটি নির্ধারিত হয় তিনটি ধাপে তিনটি প্রতিযোগী রাশির মধ্যে সবচেয়ে দুর্বলটি দিয়ে। একটি আলাদা সংশোধন সেগুলোকে ভারসাম্যে রাখতে মাত্র ছয়টি নিয়ন্ত্রক ব্যবহার করেছে।
• সঠিক রপ্তানি। চূড়ান্ত রেসিপিটি 2⁹⁶ হরবিশিষ্ট সঠিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

যাচাইয়ের মাধ্যমে প্রমাণ

সীমাটি একটি কম্পিউটার-সহায়িত প্রমাণ। একটি ছোট প্রোগ্রাম, যা শুধু Python-এর স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরি ব্যবহার করে — নেটওয়ার্ক নেই, মডেল নেই, বাড়তি কোনো প্যাকেজ নেই — সঠিক ভগ্নাংশ থেকে প্রতিটি বণ্টন আবার গড়ে তোলে এবং নিশ্চিত রাউন্ডিংসহ ফলাফল হিসাব করে। সে দেখে যে মূল রাশিটি ধনাত্মক, প্রায় ১০০ কোটি ভাগের ৮.৫ ভাগ, যা সীমাটি প্রমাণ করে। লেখক জোর দিয়ে বলেন এটি কী অন্তর্ভুক্ত করে না: প্রোগ্রামটি নিরীক্ষণযোগ্য কোড, কোনো প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্টে পুরো তত্ত্বের আনুষ্ঠানিকীকরণ নয়, আর অনুসন্ধানটি ছিল স্থানীয়, রেসিপিটি সম্ভাব্য সেরা — এমন কোনো দাবি নেই।

লেখক আরও লিখেছেন, কিছু জেনারেটিভ AI টুল, যাদের নাম বলা হয়নি, সাংখ্যিক অনুসন্ধান, সফটওয়্যার ও পাণ্ডুলিপিতে সাহায্য করেছে, আর প্রথম দিকের কোড এরিক ন্যাসলান্ডের প্রকাশ্যে ভাগ করা গণনা-নোটের ওপর ভিত্তি করে লেখা। ২০২৬ সালের ৫ অক্টোবর প্রকাশিত একটি আলাদা প্রকাশ্য কম্পিউটার সনদ পৌঁছেছিল ২.৩৭১১৬৯৩৫৩-এ; নতুন মানটি তার চেয়েও কম।

তাত্ত্বিকভাবে দ্রুততর

দ্যুপোঁ ও সহকর্মীদের তুলনায় সূচকে লাভ ০.০০০০১৭৭৬। এভাবে পাওয়া সব সীমার মতোই নিশ্চয়তাটি অসীমতটীয়: শুধু সূচক থেকে বোঝা যায় না, কোন আকারের ম্যাট্রিক্স থেকে নতুন অ্যালগরিদমটি বাস্তবে বিদ্যমানগুলোকে হারাবে। এটি যা বদলায়, তা হলো ১৯৬৯ সাল থেকে চলে আসা একটি প্রশ্নের সবচেয়ে ভালো জানা উত্তর — নীতিগতভাবে সংখ্যার গ্রিড কত দ্রুত গুণ করা যায়?