عدداں دے جالاں نوں ضرب دین دا نواں ریکارڈ

دو میٹرکساں — عدداں دے جالاں — نوں ضرب دینا کمپیوٹنگ دے سبھ توں بنیادی عملاں وچوں اک اے۔ سکول والے طریقے نال کیتا جاوے، تاں دو n ضرب n جالاں نوں ضرب دین دی لاگت n³ وانگ ودھدی اے۔ وولکر سٹراسن (Volker Strassen) دا 1969 دا الگورتھم پہلا سی جیہنے ایہدے توں چنگا کیتا — مقالے دے لفظاں وچ “ذیلی مکعبی” (subcubic) — تے اوس ویلے توں ریاضی دان ترقی نوں اک اکلے عدد نال ناپدے نیں: قوت نما ω (اومیگا)، n دی اوہ سبھ توں چھوٹی طاقت جو جالاں دے وڈے ہون نال کافی ہوندی اے۔

سٹراسن نے ایہنوں 2.81 توں تھلے لیاندا۔ دہاکیاں دے کم نے، جو مقالے وچ گنایا گیا اے، ایہنوں ہور نکے نکے قدماں نال لگ بھگ 2.37 تیک تھلے دھکیا۔ 2026 وچ، ایمیلیئن ڈوپونٹ (Emilien Dupont) تے اوہناں دے ساتھی 2.371177 تیک اپڑے۔ میٹرائڈ، انک. (Matroid, Inc.) دے رضا زادہ ہُن ω < 2.37115924 ثابت کردے نیں۔

ω دی اُتلی حد وچ کجھ چنویاں بہتریاں، 1969 وچ سٹراسن توں ایس مقالے تیک۔ — Table 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

212,820 سیٹنگاں والا نسخہ

ایہ ریکارڈ چھوٹے جالاں لئی کسے ہور چلاک چال توں نئیں آؤندے۔ ایہ اک الجبری شے توں آؤندے نیں جیہنوں کاپرسمتھ–ونوگراڈ ٹینسر (Coppersmith–Winograd tensor) آکھدے نیں، جیہنوں کٹ کے تے دوبارہ جوڑ کے، بار بار، بہت سارے آزاد میٹرکس ضرباں وچ بدلیا جا سکدا اے۔ ایہنوں کیویں کٹنا اے، ایہ چوناں دا اک وڈا مجموعہ طے کردا اے: امکانی تقسیماں، اینٹروپی سزاواں تے میٹرکس سائز جو اک اک درجے اُتے متعین ہوندے نیں۔ چوناں دا ہر درست مجموعہ اک درست حد دیندا اے؛ ہنر اک چنگا مجموعہ لبھنا اے۔

جوش المن (Josh Alman) تے ساتھیاں دے ڈھانچے تے ڈوپونٹ تے ساتھیاں دی تشکیل اُتے اساری کردیاں، زادہ نے اکو ویلے 212,820 عدد ٹیون کیتے، تن سدھاراں نال:

• اہمیت موجب پیمانہ بدلنا۔ اساری دے کجھ حصے بس ٹاویں ٹاویں ای آؤندے نیں، ایس لئی نتیجے اُتے اوہناں دا اثر بہت نکا اے تے بہتر بناؤن والا (optimiser) اوہناں نوں مشکل نال ای ہلاؤندا اے۔ ہر عدد دا پیمانہ ایس موجب بدلیا گیا کہ اوہدا حصہ کنا وزن چکدا اے۔
• رکاوٹاں لئی چھ ڈائل۔ آخری قوت نما تن مرحلیاں اُتے تن مقابلے والیاں مقداراں وچوں سبھ توں کمزور طے کردی اے۔ اک وکھری درستی نے اوہناں نوں برابر رکھن لئی بس چھ کنٹرول ورتے۔
• ٹھیک ٹھیک برآمد۔ آخری نسخے نوں 2⁹⁶ نسب نما والیاں ٹھیک کسراں وچ بدلیا گیا۔

جانچ راہیں ثبوت

ایہ حد کمپیوٹر دی مدد نال ثبوت اے۔ اک چھوٹا پروگرام، جو صرف Python دی معیاری لائبریری ورتدا اے — نہ نیٹ ورک، نہ ماڈل، نہ کوئی ہور پیکج — ٹھیک کسراں توں ہر تقسیم نوں دوبارہ بناؤندا اے تے ضمانت والی گولائی (rounding) نال نتیجہ کڈھدا اے۔ اوہنوں پتہ لگدا اے کہ کنجی والی مقدار مثبت اے، لگ بھگ 8.5 ارب ویں حصیاں نال، تے ایہ حد ثابت کردا اے۔ لکھاری زور دیندا اے کہ ایہ کیہ نئیں ڈھکدا: پروگرام جانچن جوگا کوڈ اے، پورے نظریے دی کسے ثبوت مددگار وچ رسمی بندش نئیں، تے کھوج مقامی سی، ایس دعوے بغیر کہ نسخہ سبھ توں چنگا ممکن اے۔

لکھاری ایہ وی لکھدا اے کہ تخلیقی AI اوزاراں نے، جنہاں دے ناں نئیں دسے گئے، عددی کھوج، سافٹ ویئر تے مسودے وچ مدد کیتی، تے مڈھلا کوڈ ایرک نیسلنڈ (Eric Naslund) دے عوامی طور تے سانجھے کیتے حسابی نوٹاں توں لیا گیا۔ 5 اکتوبر 2026 نوں جاری ہوئے اک وکھرے عوامی کمپیوٹر سرٹیفکیٹ نے 2.371169353 تیک اپڑ کیتی سی؛ نویں قدر ایہدے توں وی تھلے اے۔

تیز، نظریے وچ

ڈوپونٹ تے ساتھیاں دے مقابلے وچ فائدہ قوت نما وچ 0.00001776 اے۔ ایس طرح لبھیاں ساریاں حداں وانگ، ضمانت مقاربی اے: قوت نما کلّا ایہ نئیں دسدا کہ میٹرکس دے کیہڑے سائز توں نواں الگورتھم اصل وچ موجودہ الگورتھماں نوں ہرائے گا۔ جو ایہ بدلدا اے اوہ 1969 توں چلدے اک سوال دا سبھ توں چنگا جانیا پچھانیا جواب اے — اصولی طور تے، عدداں دے جال کنی تیزی نال ضرب دتے جا سکدے نیں؟