رکوردی تازه در ضرب جدول‌های عددی
ضرب دو ماتریس — جدول‌هایی از اعداد — یکی از بنیادی‌ترین عملیات در محاسبات است. اگر به روش کتاب درسی انجام شود، هزینهٔ ضرب دو جدول n در n مانند n³ رشد می‌کند. الگوریتم فولکر اشتراسن در ۱۹۶۹ نخستین الگوریتمی بود که بهتر از این عمل کرد — به تعبیر مقاله «زیرمکعبی» (subcubic) — و از آن زمان ریاضی‌دانان پیشرفت را با یک عدد واحد می‌سنجند: نمای ω (اُمگا)، کوچک‌ترین توانی از n که با بزرگ شدن جدول‌ها کافی است.
اشتراسن آن را به زیر ۲٫۸۱ رساند. دهه‌ها کار، که در مقاله فهرست شده، با گام‌هایی هرچه کوچک‌تر آن را تا حدود ۲٫۳۷ پایین آورده است. در ۲۰۲۶، امیلین دوپون و همکارانش به ۲٫۳۷۱۱۷۷ رسیدند. اکنون رضا زاده، از شرکت Matroid, Inc.، ثابت می‌کند که ω < 2.37115924.
برخی بهبودهای برگزیده در کران بالای ω، از اشتراسن در ۱۹۶۹ تا این مقاله. — Table 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.
دستورالعملی با ۲۱۲٬۸۲۰ تنظیم
این رکوردها از ترفندی زیرکانه‌تر برای جدول‌های کوچک به دست نمی‌آیند. آن‌ها از شیئی جبری به نام تانسور کاپراسمیت–وینوگراد (Coppersmith–Winograd tensor) می‌آیند که می‌توان آن را به‌طور بازگشتی برش داد و دوباره ترکیب کرد تا به ضرب‌های ماتریسی مستقل فراوانی تبدیل شود. چگونگی برش آن را مجموعه‌ای عظیم از انتخاب‌ها تعیین می‌کند: توزیع‌های احتمال، جریمه‌های آنتروپی و اندازه‌های ماتریس که سطح به سطح تعریف می‌شوند. هر مجموعهٔ معتبری از انتخاب‌ها کرانی معتبر به دست می‌دهد؛ هنر در یافتن مجموعه‌ای خوب است.
زاده، با تکیه بر چارچوب جاش آلمن و همکارانش و صورت‌بندی دوپون و همکارانش، ۲۱۲٬۸۲۰ عدد را هم‌زمان تنظیم کرد، با سه اصلاح:
- مقیاس‌بندی دوباره بر اساس اهمیت. برخی اجزای این ساختار تنها به‌ندرت ظاهر می‌شوند، پس اثرشان بر نتیجه ناچیز است و بهینه‌ساز به‌سختی تکانشان می‌دهد. هر عدد بر اساس وزنی که جزء مربوط به آن حمل می‌کند دوباره مقیاس‌بندی شد.
- شش پیچ تنظیم برای گلوگاه‌ها. نمای نهایی را ضعیف‌ترینِ سه کمیت رقیب در سه مرحله تعیین می‌کند. یک اصلاح جداگانه تنها شش کنترل را به کار گرفت تا آن‌ها را متوازن نگه دارد.
- خروجی دقیق. دستورالعمل نهایی به کسرهای دقیقی با مخرج‌های 2⁹⁶ تبدیل شد.
اثبات با وارسی
این کران یک اثبات به کمک رایانه است. برنامه‌ای کوتاه، که تنها از کتابخانهٔ استاندارد Python استفاده می‌کند — بی‌شبکه، بی‌مدل، بی‌هیچ بستهٔ اضافی — هر توزیع را از روی کسرهای دقیق بازسازی می‌کند و نتیجه را با گردکردنِ تضمین‌شده محاسبه می‌کند. این برنامه درمی‌یابد که کمیت کلیدی مثبت است، به اندازهٔ حدود ۸٫۵ میلیاردم، و همین کران را اثبات می‌کند. نویسنده تأکید می‌کند که این چه چیزی را پوشش نمی‌دهد: برنامه کدی قابل‌حسابرسی است، نه صوری‌سازی کل نظریه در یک دستیار اثبات، و جست‌وجو موضعی بود، بی‌آن‌که ادعا شود این دستورالعمل بهترین ممکن است.
نویسنده همچنین می‌نویسد که ابزارهای هوش مصنوعی مولد، که نامشان برده نشده، در کاوش عددی، نرم‌افزار و نگارش مقاله کمک کردند، و کد اولیه از یادداشت‌های محاسباتی‌ای بهره گرفت که اریک نسلوند به‌طور عمومی به اشتراک گذاشته بود. یک گواهی رایانه‌ای عمومی جداگانه، منتشرشده در ۵ اکتبر ۲۰۲۶، به 2.371169353 رسیده بود؛ مقدار جدید از آن هم پایین‌تر است.
سریع‌تر، در نظریه
بهبود نسبت به دوپون و همکارانش ۰٫۰۰۰۰۱۷۷۶ در نما است. مانند همهٔ کران‌هایی که به این روش به دست می‌آیند، تضمین مجانبی است: نما به‌تنهایی نمی‌گوید الگوریتم جدید از چه اندازه‌ای از ماتریس واقعاً بر الگوریتم‌های موجود پیشی می‌گیرد. آنچه تغییر می‌کند، بهترین پاسخ شناخته‌شده به پرسشی است که از ۱۹۶۹ مطرح بوده: جدول‌های عددی را، در اصل، با چه سرعتی می‌توان در هم ضرب کرد؟