数字网格相乘的新纪录

两个矩阵——即数字网格——相乘，是计算中最基本的操作之一。用教科书上的方法，两个n×n网格相乘的代价按n³增长。福尔克尔·施特拉森（Volker Strassen）1969年的算法第一次做得更好——用论文的话说是“亚立方”的——从那以后，数学家们就用一个数字来衡量进展：指数ω（omega），即随着网格增大所需的n的最小幂次。

施特拉森把它降到了2.81以下。论文中列出的数十年的工作把它推到了2.37左右，而每一步都越来越小。2026年，Emilien Dupont及其同事达到了2.371177。Matroid公司的Reza Zadeh现在证明了ω < 2.37115924。

ω上界的部分改进，从1969年的施特拉森到本文。——表1，Zadeh（2026），arXiv:2610.10593，CC BY 4.0。

一个有212820个参数的配方

这些纪录并非来自针对小网格的更巧妙技巧。它们来自一个称为Coppersmith–Winograd张量的代数对象，它可以被递归地切分、重组成许多相互独立的矩阵乘积。如何切分，由一大组选择决定：逐层定义的概率分布、熵惩罚和矩阵尺寸。任何一组有效的选择都能给出一个有效的上界；诀窍在于找到一组好的选择。

在Josh Alman及其同事的框架和Dupont及其同事的表述基础上，Zadeh同时调校了212820个数字，并做了三项改进：

• **按重要性重新缩放。**构造中的某些部分很少出现，因此它们对结果的影响微乎其微，优化器几乎不会去调整它们。每个数字都根据其所属部分承载的权重进行了重新缩放。
• **为瓶颈设置六个旋钮。**最终指数由三个阶段中三个相互竞争的量里最弱的那个决定。一个单独的修正只用了六个控制量来保持它们的平衡。
• **精确导出。**最终配方被转换为分母为2⁹⁶的精确分数。

以检验为证明

这个上界是一个计算机辅助证明。一个短小的程序只使用Python的标准库——不联网、不调用模型、不依赖额外的软件包——就能从精确分数重建每一个分布，并以有保证的舍入方式计算结果。它发现关键量为正，大约是十亿分之8.5，这就证明了该上界。作者强调了这一证明不涵盖的内容：这个程序是可审计的代码，而不是在证明助手中对整个理论的形式化；而且搜索是局部的，并不声称这个配方是最优的。

作者还写道，一些未具名的生成式AI工具协助了数值探索、软件和论文写作，早期代码借鉴了Eric Naslund公开分享的计算笔记。另一份于2026年10月5日发布的独立公开计算机证书曾达到2.371169353；新的数值更低。

理论上更快

相比Dupont及其同事的结果，指数降低了0.00001776。与所有用这种方法得到的上界一样，这一保证是渐近意义上的：单凭指数无法说明，新算法要从多大的矩阵开始才会真正胜过现有算法。它改变的是一个自1969年以来一直存在的问题的已知最佳答案——原则上，数字网格的乘法能有多快？