SAYI TABLOLARINI ÇARPMADA YENİ BİR REKOR

İki matrisi — sayı tablolarını — çarpmak, bilişimin en temel işlemlerinden biridir. Okulda öğretildiği gibi yapıldığında, n’ye n iki tabloyu çarpmanın maliyeti n³ gibi büyür. Volker Strassen’in 1969 algoritması daha iyisini yapan ilk algoritmaydı — makalenin ifadesiyle “kübik altı” (subcubic) — ve o zamandan beri matematikçiler ilerlemeyi tek bir sayıyla ölçüyor: tablolar büyüdükçe yeterli olan en küçük n kuvveti olan ω (omega) üssü.

Strassen onu 2,81’in altına indirdi. Makalede listelenen onlarca yıllık çalışma, giderek küçülen adımlarla onu 2,37 civarına itti. 2026’da Emilien Dupont ve meslektaşları 2,371177’ye ulaştı. Matroid, Inc. şirketinden Reza Zadeh şimdi ω < 2,37115924 olduğunu kanıtlıyor.

1969’daki Strassen’den bu makaleye kadar ω’nın üst sınırındaki seçilmiş iyileştirmeler. — Table 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

212.820 ayarlı bir tarif

Bu rekorlar küçük tablolar için daha akıllıca bir numaradan gelmiyor. Coppersmith–Winograd tensörü adlı, özyinelemeli olarak parçalanıp yeniden birleştirilerek birçok bağımsız matris çarpımına dönüştürülebilen cebirsel bir nesneden geliyor. Nasıl parçalanacağını devasa bir seçimler kümesi belirliyor: düzey düzey tanımlanan olasılık dağılımları, entropi cezaları ve matris boyutları. Geçerli her seçim kümesi geçerli bir sınır verir; asıl ustalık iyi bir tane bulmaktır.

Josh Alman ve meslektaşlarının çerçevesi ile Dupont ve meslektaşlarının formülasyonu üzerine inşa eden Zadeh, 212.820 sayıyı aynı anda üç iyileştirmeyle ayarladı:

• Öneme göre yeniden ölçekleme. Yapının bazı parçaları yalnızca nadiren görünüyor, dolayısıyla sonuç üzerindeki etkileri çok küçük ve bir optimize edici onları neredeyse hiç kıpırdatmıyor. Her sayı, ait olduğu parçanın taşıdığı ağırlığa göre yeniden ölçeklendi.
• Darboğazlar için altı ayar düğmesi. Nihai üs, üç aşamada birbiriyle yarışan üç niceliğin en zayıfı tarafından belirleniyor. Ayrı bir düzeltme, onları dengede tutmak için yalnızca altı kontrol kullandı.
• Kesin dışa aktarım. Nihai tarif, paydaları 2⁹⁶ olan kesin kesirlere dönüştürüldü.

Kontrol ederek ispat

Sınır, bilgisayar destekli bir ispattır. Yalnızca Python’un standart kütüphanesini kullanan kısa bir program — ağ yok, model yok, ek paket yok — her dağılımı kesin kesirlerden yeniden kuruyor ve sonucu garantili yuvarlamayla hesaplıyor. Kilit niceliğin yaklaşık milyarda 8,5 kadar pozitif olduğunu buluyor; bu da sınırı kanıtlıyor. Yazar bunun neyi kapsamadığının altını çiziyor: program denetlenebilir bir kod, teorinin tamamının bir ispat asistanında biçimselleştirilmesi değil; arama da yereldi ve tarifin mümkün olan en iyisi olduğu iddiası yok.

Yazar ayrıca, adı verilmeyen üretken yapay zekâ araçlarının sayısal keşfe, yazılıma ve makaleye yardım ettiğini, ilk kodun ise Eric Naslund’un kamuya açık biçimde paylaştığı hesaplama notlarından yararlandığını yazıyor. 5 Ekim 2026’da yayımlanan ayrı bir kamuya açık bilgisayar sertifikası 2,371169353’e ulaşmıştı; yeni değer bundan da düşük.

Teoride daha hızlı

Dupont ve meslektaşlarına göre kazanç, üste 0,00001776. Bu yolla elde edilen tüm sınırlar gibi, garanti asimptotiktir: üs tek başına, yeni algoritmanın hangi matris boyutundan itibaren mevcut olanları gerçekten geçeceğini söylemez. Değiştirdiği şey, 1969’dan beri süren bir soruya bilinen en iyi cevaptır — sayı tabloları ilke olarak ne kadar hızlı çarpılabilir?