సంఖ్యల జాలకాల గుణకారంలో కొత్త రికార్డు

రెండు మాతృకలను — సంఖ్యల జాలకాలను — గుణించడం గణనలో అత్యంత ప్రాథమిక ఆపరేషన్లలో ఒకటి. పాఠ్యపుస్తక పద్ధతిలో చేస్తే, రెండు n-బై-n జాలకాలను గుణించే ఖర్చు n³ లాగా పెరుగుతుంది. ఫోల్కర్ స్ట్రాసెన్ (Volker Strassen) 1969 అల్గారిథమ్ దీనికంటే మెరుగ్గా చేసిన మొదటిది — పత్రం మాటల్లో “ఉప-ఘన” (subcubic) — అప్పటి నుంచి గణిత శాస్త్రవేత్తలు పురోగతిని ఒకే సంఖ్యతో కొలుస్తున్నారు: ఘాతాంకం ω (ఒమేగా), అంటే జాలకాలు పెద్దవవుతున్న కొద్దీ సరిపోయే n యొక్క అతి చిన్న ఘాతం.

స్ట్రాసెన్ దాన్ని 2.81 కంటే కిందకు తెచ్చారు. పత్రంలో జాబితా చేసిన దశాబ్దాల కృషి, అంతకంతకూ చిన్న అడుగులతో, దాన్ని సుమారు 2.37 వరకు తగ్గించింది. 2026లో ఎమిలియెన్ డ్యూపాన్ (Emilien Dupont), సహచరులు 2.371177 కు చేరారు. ఇప్పుడు Matroid, Inc. కంపెనీకి చెందిన రెజా జాదే (Reza Zadeh) ω < 2.37115924 అని నిరూపిస్తున్నారు.

1969లో స్ట్రాసెన్ నుంచి ఈ పత్రం వరకు, ω ఎగువ హద్దులో ఎంపిక చేసిన మెరుగుదలలు. — పట్టిక 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

2,12,820 అమరికలున్న వంటకం

ఈ రికార్డులు చిన్న జాలకాల కోసం మరింత తెలివైన ఉపాయం నుంచి రావు. అవి కాపర్‌స్మిత్–వినోగ్రాడ్ టెన్సర్ అనే ఒక బీజగణిత వస్తువు నుంచి వస్తాయి; దాన్ని ముక్కలుగా కోసి, మళ్లీ కలిపి, పునరావృతంగా, అనేక స్వతంత్ర మాతృక లబ్ధాలుగా మార్చవచ్చు. దాన్ని ఎలా కోయాలో ఒక భారీ ఎంపికల సమితి నిర్ణయిస్తుంది: సంభావ్యతా పంపిణీలు, ఎంట్రోపీ జరిమానాలు, స్థాయి తర్వాత స్థాయి నిర్వచించిన మాతృక పరిమాణాలు. ఏ చెల్లుబాటు అయ్యే ఎంపికల సమితి అయినా చెల్లుబాటు అయ్యే హద్దును ఇస్తుంది; మంచి సమితిని కనుగొనడంలోనే నైపుణ్యం ఉంది.

జోష్ ఆల్మన్ (Josh Alman), సహచరుల చట్రంపై, డ్యూపాన్, సహచరుల సూత్రీకరణపై ఆధారపడి, జాదే మూడు మెరుగుదలలతో 2,12,820 సంఖ్యలను ఒకేసారి సర్దుబాటు చేశారు:

• ప్రాముఖ్యం ప్రకారం పునఃస్కేలింగ్. నిర్మాణంలోని కొన్ని భాగాలు అరుదుగా మాత్రమే కనిపిస్తాయి, కాబట్టి ఫలితంపై వాటి ప్రభావం అతి స్వల్పం, ఇష్టతమీకరణ పద్ధతి వాటిని దాదాపు కదిలించదు. ప్రతి సంఖ్యనూ దాని భాగం ఎంత బరువు మోస్తుందో దాని ప్రకారం పునఃస్కేల్ చేశారు.
• అడ్డంకుల కోసం ఆరు డయల్‌లు. మూడు దశల్లో పోటీపడే మూడు రాశుల్లో బలహీనమైనది చివరి ఘాతాంకాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. వేరే ఒక సవరణ కేవలం ఆరు నియంత్రణలతో వాటిని సమతుల్యంగా ఉంచింది.
• కచ్చితమైన ఎగుమతి. చివరి వంటకాన్ని 2⁹⁶ హారాలున్న కచ్చితమైన భిన్నాలుగా మార్చారు.

సరిచూడడం ద్వారా నిరూపణ

ఈ హద్దు కంప్యూటర్ సహాయంతో చేసిన నిరూపణ. Python ప్రామాణిక లైబ్రరీని మాత్రమే వాడే ఒక చిన్న ప్రోగ్రామ్ — నెట్‌వర్క్ లేదు, మోడల్ లేదు, అదనపు ప్యాకేజీ లేదు — కచ్చితమైన భిన్నాల నుంచి ప్రతి పంపిణీనీ తిరిగి నిర్మించి, హామీ ఇచ్చిన రౌండింగ్‌తో ఫలితాన్ని మూల్యాంకనం చేస్తుంది. కీలక రాశి ధనాత్మకమని, సుమారు 8.5 బిలియన్ వంతులు ఉందని అది కనుగొంటుంది, అది హద్దును నిరూపిస్తుంది. ఇది దేన్ని కవర్ చేయదో రచయిత నొక్కిచెబుతారు: ప్రోగ్రామ్ తనిఖీ చేయగల కోడ్, నిరూపణ సహాయకంలో మొత్తం సిద్ధాంతపు లాంఛనీకరణ కాదు; శోధన స్థానికమైనది, వంటకం సాధ్యమైనంత అత్యుత్తమమైనదని ఎలాంటి వాదనా లేదు.

పేర్లు చెప్పని జనరేటివ్ AI సాధనాలు సంఖ్యాత్మక అన్వేషణకు, సాఫ్ట్‌వేర్‌కు, రాతప్రతికి సహాయపడ్డాయని, తొలి కోడ్ ఎరిక్ నాస్లుండ్ (Eric Naslund) బహిరంగంగా పంచుకున్న గణన గమనికలపై ఆధారపడిందని కూడా రచయిత రాస్తారు. 5 అక్టోబర్ 2026న విడుదలైన వేరే ఒక బహిరంగ కంప్యూటర్ ధృవపత్రం 2.371169353 కు చేరింది; కొత్త విలువ అంతకంటే ఇంకా తక్కువ.

సిద్ధాంతపరంగా, మరింత వేగంగా

డ్యూపాన్, సహచరులతో పోలిస్తే ఘాతాంకంలో లాభం 0.00001776. ఈ విధంగా పొందిన అన్ని హద్దుల లాగే, హామీ అనంతస్పర్శీయమైనది: కొత్త అల్గారిథమ్ ఏ మాతృక పరిమాణం నుంచి ప్రస్తుత అల్గారిథమ్‌లను నిజంగా అధిగమిస్తుందో ఘాతాంకం ఒక్కటే చెప్పదు. ఇది మార్చేది 1969 నుంచి కొనసాగుతున్న ఒక ప్రశ్నకు తెలిసిన అత్యుత్తమ సమాధానాన్ని — సూత్రప్రాయంగా, సంఖ్యల జాలకాలను ఎంత వేగంగా గుణించవచ్చు?