REKODI MPYA YA KUZIDISHA GRIDI ZA NAMBA

Kuzidisha matriki mbili — gridi za namba — ni mojawapo ya operesheni za msingi kabisa katika kompyuta. Kwa njia ya vitabu vya shule, gharama ya kuzidisha gridi mbili za n kwa n hukua kama n³. Algorithimu ya Volker Strassen ya 1969 ilikuwa ya kwanza kufanya vizuri zaidi — “chini ya kipeo cha tatu” (subcubic), kwa maneno ya makala — na tangu hapo wanahisabati wamepima maendeleo kwa namba moja: kipeo ω (omega), kipeo kidogo kabisa cha n kinachotosha kadiri gridi zinavyokua.

Strassen alikishusha chini ya 2.81. Miongo ya kazi, iliyoorodheshwa katika makala, imekisukuma hadi karibu 2.37, kwa hatua zinazozidi kuwa ndogo. Mwaka 2026, Emilien Dupont na wenzake walifikia 2.371177. Reza Zadeh, wa kampuni ya Matroid, Inc., sasa anathibitisha ω < 2.37115924.

Maboresho teule ya mpaka wa juu wa ω, kuanzia Strassen mwaka 1969 hadi makala hii. — Jedwali 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

Mapishi yenye mipangilio 212,820

Rekodi hizi hazitokani na mbinu janja zaidi kwa gridi ndogo. Zinatokana na kitu cha kialjebra kiitwacho tensa ya Coppersmith–Winograd, ambacho kinaweza kukatwa na kuunganishwa upya, kwa kujirudia, kuwa mazao mengi huru ya matriki. Jinsi kinavyokatwa kunaamuliwa na seti kubwa mno ya machaguo: ugawaji wa uwezekano, adhabu za entropia na ukubwa wa matriki uliofafanuliwa ngazi baada ya ngazi. Seti yoyote halali ya machaguo inatoa mpaka halali; ustadi ni kupata seti nzuri.

Akijenga juu ya mfumo wa Josh Alman na wenzake na juu ya muundo wa Dupont na wenzake, Zadeh alirekebisha namba 212,820 kwa wakati mmoja, kwa maboresho matatu:

• Kubadilisha vipimo kulingana na umuhimu. Baadhi ya vipande vya muundo hujitokeza mara chache tu, kwa hiyo athari yao kwenye tokeo ni ndogo mno na kiboreshaji hakivisogezi kwa shida. Kila namba ilibadilishiwa kipimo kulingana na uzito unaobebwa na kipande chake.
• Vidhibiti sita kwa vizuizi. Kipeo cha mwisho kinaamuliwa na kilicho dhaifu zaidi kati ya viasi vitatu vinavyoshindana katika hatua tatu. Marekebisho tofauti yalitumia vidhibiti sita tu kuviweka katika usawa.
• Kutoa matokeo kwa usahihi kamili. Mapishi ya mwisho yaligeuzwa kuwa sehemu kamili zenye vigawanyi vya 2⁹⁶.

Uthibitisho kwa ukaguzi

Mpaka huu ni uthibitisho unaosaidiwa na kompyuta. Programu fupi, inayotumia maktaba ya kawaida ya Python pekee — bila mtandao, bila modeli, bila kifurushi cha ziada — inajenga upya kila ugawaji kutoka kwa sehemu kamili na kutathmini tokeo kwa ukadiriaji uliohakikishwa. Inakuta kwamba kiasi muhimu ni chanya, kwa takriban sehemu 8.5 za bilioni, jambo linalothibitisha mpaka huo. Mwandishi anasisitiza kile ambacho hili halishughulikii: programu ni msimbo unaoweza kukaguliwa, si urasimishaji wa nadharia nzima katika msaidizi wa uthibitisho, na utafutaji ulikuwa wa eneo dogo, bila dai lolote kwamba mapishi hayo ndiyo bora kabisa yanayowezekana.

Mwandishi pia anaandika kwamba zana za AI zalishi, ambazo hazitajwi kwa majina, zilisaidia utafiti wa kinamba, programu na muswada, na kwamba msimbo wa awali ulitegemea maelezo ya kikokotozi yaliyoshirikiwa hadharani na Eric Naslund. Cheti tofauti cha kompyuta cha umma, kilichotolewa tarehe 5 Oktoba 2026, kilikuwa kimefikia 2.371169353; thamani mpya iko chini zaidi.

Kasi zaidi, kinadharia

Faida dhidi ya Dupont na wenzake ni 0.00001776 katika kipeo. Kama mipaka yote inayopatikana kwa njia hii, uhakikisho ni wa kiasimptoti: kipeo peke yake hakisemi ni kuanzia ukubwa gani wa matriki algorithimu mpya ingeshinda kweli zile zilizopo. Kinachobadilika ni jibu bora linalojulikana kwa swali lililodumu tangu 1969 — kimsingi, gridi za namba zinaweza kuzidishwa kwa kasi kiasi gani?