संख्याओं के ग्रिड गुणा करने का नया रिकॉर्ड

दो मैट्रिक्सों — संख्याओं के ग्रिडों — को गुणा करना कंप्यूटिंग की सबसे बुनियादी संक्रियाओं में से एक है। स्कूली तरीक़े से करने पर, दो n-गुणा-n ग्रिडों को गुणा करने की लागत n³ की तरह बढ़ती है। फ़ोल्कर श्ट्रासेन का 1969 का एल्गोरिद्म इससे बेहतर करने वाला पहला था — शोधपत्र के शब्दों में “सबक्यूबिक” — और तब से गणितज्ञ प्रगति को एक अकेली संख्या से मापते हैं: घातांक ω (ओमेगा), यानी n की वह सबसे छोटी घात जो ग्रिडों के बड़े होने पर काफ़ी होती है।

श्ट्रासेन ने इसे 2.81 से नीचे पहुँचाया। शोधपत्र में सूचीबद्ध दशकों के काम ने इसे लगभग 2.37 तक धकेला है, और हर क़दम पहले से छोटा होता गया। 2026 में एमिलियन ड्यूपों और उनके सहयोगी 2.371177 तक पहुँचे। अब Matroid, Inc. कंपनी के रेज़ा ज़ादे साबित करते हैं कि ω < 2.37115924।

ω की ऊपरी सीमा में चुने हुए सुधार, 1969 में श्ट्रासेन से लेकर इस शोधपत्र तक। — तालिका 1, Zadeh (2026), arXiv:2610.10593, CC BY 4.0.

2,12,820 सेटिंग्स वाला एक नुस्ख़ा

ये रिकॉर्ड छोटे ग्रिडों के लिए किसी ज़्यादा चतुर तरकीब से नहीं आते। ये कॉपरस्मिथ–विनोग्राद टेंसर (Coppersmith–Winograd tensor) नाम की एक बीजगणितीय वस्तु से आते हैं, जिसे काटकर और पुनरावर्ती ढंग से फिर से जोड़कर कई स्वतंत्र मैट्रिक्स गुणनफलों में बदला जा सकता है। इसे कैसे काटा जाए, यह विकल्पों के एक विशाल समूह से तय होता है: स्तर-दर-स्तर परिभाषित प्रायिकता बंटन, एंट्रॉपी दंड और मैट्रिक्स के आकार। विकल्पों का कोई भी वैध समूह एक वैध सीमा देता है; कला एक अच्छा समूह खोजने में है।

जोश आलमन और सहयोगियों के ढाँचे और ड्यूपों व सहयोगियों के सूत्रीकरण पर आगे बढ़ते हुए, ज़ादे ने एक साथ 2,12,820 संख्याओं को साधा, तीन सुधारों के साथ:

• महत्व के हिसाब से पुनःस्केलिंग। निर्माण के कुछ हिस्से बहुत कम आते हैं, इसलिए नतीजे पर उनका असर नगण्य होता है और ऑप्टिमाइज़र उन्हें मुश्किल से हिलाता है। हर संख्या को इस हिसाब से फिर से स्केल किया गया कि उसका हिस्सा कितना भार वहन करता है।
• अड़चनों के लिए छह डायल। अंतिम घातांक तीन चरणों में तीन प्रतिस्पर्धी राशियों में से सबसे कमज़ोर से तय होता है। एक अलग सुधार ने उन्हें संतुलित रखने के लिए सिर्फ़ छह नियंत्रणों का इस्तेमाल किया।
• सटीक निर्यात। अंतिम नुस्ख़े को 2⁹⁶ हर वाले सटीक भिन्नों में बदला गया।

जाँच से प्रमाण

यह सीमा एक कंप्यूटर-सहायित प्रमाण है। एक छोटा प्रोग्राम, जो सिर्फ़ Python की मानक लाइब्रेरी इस्तेमाल करता है — न नेटवर्क, न मॉडल, न कोई अतिरिक्त पैकेज — सटीक भिन्नों से हर बंटन को दोबारा बनाता है और गारंटीशुदा राउंडिंग के साथ नतीजे की गणना करता है। उसे पता चलता है कि मुख्य राशि धनात्मक है, लगभग 8.5 अरबवें हिस्से से, जो सीमा को साबित करता है। लेखक ज़ोर देकर बताते हैं कि यह किन बातों को शामिल नहीं करता: प्रोग्राम ऑडिट किया जा सकने वाला कोड है, किसी प्रूफ़ असिस्टेंट में पूरे सिद्धांत का औपचारिकीकरण नहीं, और खोज स्थानीय थी, यह दावा नहीं किया गया कि नुस्ख़ा सबसे अच्छा संभव है।

लेखक यह भी लिखते हैं कि जनरेटिव AI टूल्स ने, जिनका नाम नहीं दिया गया, संख्यात्मक खोजबीन, सॉफ़्टवेयर और पांडुलिपि में मदद की, और शुरुआती कोड एरिक नैसलंड द्वारा सार्वजनिक रूप से साझा किए गए गणना-नोट्स पर आधारित था। 5 अक्टूबर 2026 को जारी एक अलग सार्वजनिक कंप्यूटर प्रमाणपत्र 2.371169353 तक पहुँचा था; नया मान उससे भी कम है।

सिद्धांत में तेज़

ड्यूपों और सहयोगियों की तुलना में घातांक में 0.00001776 का सुधार है। इस तरह से मिली सभी सीमाओं की तरह, यह गारंटी अनंतस्पर्शी है: अकेला घातांक यह नहीं बताता कि नया एल्गोरिद्म किस आकार के मैट्रिक्स से मौजूदा एल्गोरिद्मों को सचमुच पछाड़ेगा। यह जो बदलता है वह 1969 से चले आ रहे एक सवाल का सबसे अच्छा ज्ञात जवाब है — सिद्धांत रूप में, संख्याओं के ग्रिडों को कितनी तेज़ी से गुणा किया जा सकता है?