রেকর্ড গুনে সবচেয়ে বড়টির কিছুই জানা যায় না

দৈনিক বৃষ্টিপাতের মাপের একটি শ্রেণির কথা ভাবুন। দুটি সংখ্যা এর চরম মানগুলোর সারসংক্ষেপ দেয়। প্রথমটি সর্বোচ্চ মান: সবচেয়ে বৃষ্টিভেজা দিন। দ্বিতীয়টি রেকর্ডের সংখ্যা: কতবার একটি দিন তার আগের প্রতিটি দিনকে ছাড়িয়ে গেছে। সর্বোচ্চ মান কেবল শেষ রেকর্ডটি।

তবু কোনো সংখ্যাই বলে না শিখরে কীভাবে পৌঁছানো হয়েছে। এটা কি রেকর্ডের একটি লম্বা সিঁড়ি ছিল, প্রতিটি আগেরটির চেয়ে একটু উঁচু? নাকি দীর্ঘ শান্তির পর একটিমাত্র ব্যতিক্রমী মুষলধারা? স্বজ্ঞা বলে দুটো একসঙ্গে চলা উচিত: খুব উঁচু সর্বোচ্চ মানের জন্য পথে অনেক রেকর্ড লাগার কথা। Satya Majumdar (প্যারিস-সাক্লে বিশ্ববিদ্যালয় ও CNRS), Sanjib Sabhapandit (রামন রিসার্চ ইনস্টিটিউট, ভারত) এবং Grégory Schehr (সরবন বিশ্ববিদ্যালয় ও CNRS) এই সম্পর্কটি নিখুঁতভাবে গণনা করতে নামেন। তাঁরা উল্লেখ করেন, সর্বোচ্চ মান আর রেকর্ড আলাদা আলাদাভাবে দশকের পর দশক অধ্যয়ন করা হয়েছে, কিন্তু তাদের যৌথ আচরণ পেয়েছে “লক্ষণীয়ভাবে সামান্য মনোযোগ”।

K টি রেকর্ডসহ (R₁ … R_K) n টি মানের একটি দৈব শ্রেণি; শেষ রেকর্ডটি সর্বোচ্চ মান M। রেকর্ডগুলোর মাঝের ব্যবধান ℓ হলো রেকর্ডগুলোর “বয়স”। — চিত্র 1, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

ঠিক কোনো সম্পর্ক নেই

সবচেয়ে সরল ক্ষেত্র দিয়ে শুরু করা যাক: প্রতিটি মান একই অবিচ্ছিন্ন বণ্টন থেকে স্বাধীনভাবে নেওয়া, কোনো ফাঁক বা হঠাৎ উঁচু চূড়া ছাড়া। এখানে রেকর্ডের ইতিমধ্যেই একটি বিখ্যাত বৈশিষ্ট্য আছে: গড়ে, n টি মানের একটি শ্রেণিতে 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n টি রেকর্ড থাকে, বণ্টন যা-ই হোক। এই সংখ্যা বাড়ে কেবল n-এর লগারিদমের মতো — রেকর্ড ভাঙা ক্রমশ কঠিন হয়ে ওঠে।

দলটির প্রথম ফল, তাঁদের ভাষায়, “বেশ চমকপ্রদ ও অপ্রত্যাশিত”। এমন যেকোনো শ্রেণির জন্য, যেকোনো দৈর্ঘ্যের, রেকর্ডের সংখ্যা K আর সর্বোচ্চ মান M সম্পূর্ণ স্বাধীন। তাদের যৌথ সম্ভাবনা আলাদা দুটি সম্ভাবনার গুণফলে ভেঙে যায়। কতগুলো রেকর্ড ভাঙা হয়েছে তা জানলে সবচেয়ে উঁচুটি কত উঁচু সে সম্পর্কে কিছুই জানা যায় না, উল্টোটাও তাই।

শুকনো দিন সব বদলে দেয়

আসল বৃষ্টিপাত অবিচ্ছিন্ন নয়: কিছু দিন একেবারেই বৃষ্টি হয় না। লেখকেরা এর মডেল করেন একটি শুকনো দিনের (শূন্য বৃষ্টি) সম্ভাবনা q এবং ভেজা দিনগুলোর বৃষ্টির পরিমাণের জন্য একটি অবিচ্ছিন্ন বণ্টন দিয়ে। রেকর্ড গোনা হয় কেবল ভেজা দিনগুলোর মধ্যে।

এবার একটি সম্পর্ক দেখা দেয়। ভেজা দিনের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য রাশি দুটি স্বাধীনই থাকে। তাদের বেঁধে দেয় ভেজা দিনের দৈব সংখ্যা। একটি দীর্ঘ শুকনো পর্বে রেকর্ডের গোনা বা সর্বোচ্চ মান কোনোটিই বদলাতে পারে না: দুটো একসঙ্গে জমে থাকে, আর এই অভিন্ন জমাট অবস্থাই তাদের সহসম্পর্কিত করে। খুব লম্বা শ্রেণিতে সম্পর্কটি আবার মিলিয়ে যায়।

দুটি প্রভাব প্রতিযোগিতা করে, আর ফল একটি নির্দিষ্ট সীমারেখায় উল্টে যায়। শুকনো দিনের একটি সংকট অনুপাত q_c-এর নিচে, সম্পর্কটি (সহভেদাঙ্ক দিয়ে মাপা) শ্রেণি লম্বা হওয়ার সঙ্গে শুধু কমে। q_c-এর ওপরে, এটি প্রথমে বাড়ে, শিখরে পৌঁছায়, তারপর কমে। লেখকেরা সীমারেখাটি নিখুঁতভাবে দেন:

q_c = ½(−b + √(b² + 8)), যেখানে b = 1 + 2µ₁/µ₂

যেখানে µ₁ ও µ₂ হলো ভেজা দিনের বৃষ্টির বণ্টন থেকে গণনা করা দুটি সরল গড়। সূচকীয়ভাবে বণ্টিত বৃষ্টির জন্য q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0.372। সুষমভাবে বণ্টিত বৃষ্টির জন্য √6 − 2 ≈ 0.449। তাঁরা লেখেন, এই পালাবদলের তীক্ষ্ণতা “বিস্ময়কর এবং মোটেই তুচ্ছ নয়”। লম্বা শ্রেণিতে সম্পর্কটি শ্রেণির দৈর্ঘ্যের একটি ঘাত অনুযায়ী ক্ষয় হয়, যার সূচক নির্ধারিত হয় বৃষ্টির বণ্টনের লেজ কতটা ভারী তা দিয়ে, q দিয়ে নয়।

জার্মানির বৃষ্টির সঙ্গে মিলিয়ে দেখা

পূর্বাভাসটি পরীক্ষা করতে দলটি জার্মান আবহাওয়া পরিষেবা, Deutscher Wetterdienst-এর দৈনিক ডেটার শরণাপন্ন হয়: 6,105টি কেন্দ্র। এক দিন থেকে পরের দিন পর্যন্ত আবহাওয়ার স্মৃতি সরাতে তাঁরা প্রতি তেরো দিনে কেবল একটি দিন রেখেছেন। তারপর দুটি দল গড়েছেন:

• দল A: 1974 থেকে 2013 পর্যন্ত সম্পূর্ণ রেকর্ডসহ 232টি কেন্দ্র, যেখানে প্রায় অর্ধেক দিন শুকনো (q ≈ 0.50)। তাদের বৃষ্টির জন্য পূর্বাভাসিত সীমারেখা ছিল 0.315, তাই সম্পর্কটির প্রথমে বাড়া, তারপর কমার কথা।
• দল B: কম শুকনো দিনের 15টি কেন্দ্রের নভেম্বরের রেকর্ড (q ≈ 0.23), তাদের পূর্বাভাসিত সীমারেখা 0.28-এর নিচে। সম্পর্কটির শুধু কমার কথা।

তত্ত্বটি ব্যবহার করেছে কেবল শুকনো দিনের মাপা অনুপাত আর বৃষ্টির মাপা বণ্টন, কোনো সমন্বয়যোগ্য প্যারামিটার ছাড়া। দুটি দলই পূর্বাভাসিত আকার মেনে চলেছে।

জার্মানির বৃষ্টির ডেটা (নীল বর্গ) বনাম নিখুঁত তত্ত্ব (লাল)। বাঁয়ে: প্রায় 50% শুকনো দিনের কেন্দ্র, সীমারেখার ওপরে — সম্পর্কটি প্রথমে বাড়ে, তারপর কমে। ডানে: 23% শুকনো দিনের নভেম্বরের ডেটা, সীমারেখার নিচে — এটি শুধু কমে। — চিত্র 3, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

আসল বৃষ্টিপাত এক দিন থেকে পরের দিনে স্মৃতিও বহন করে। এমন স্মৃতিযুক্ত শ্রেণি নিয়ে লেখকদের প্রাথমিক কাজ ইঙ্গিত দেয় যে তখন সম্পর্কটি কমার আগে সবসময় বাড়ে, স্মৃতি যত জোরালোই হোক — এটাই সেই পরের গণনা যা তাঁরা নিখুঁত করতে চান, শুকনো দিনসহ।