ریکارڈز گننے سے سب سے بڑے کے بارے میں کچھ پتا نہیں چلتا

روزانہ بارش کی پیمائشوں کے ایک سلسلے کا تصور کریں۔ دو اعداد اس کی انتہاؤں کا خلاصہ کرتے ہیں۔ پہلا ہے زیادہ سے زیادہ قدر: سب سے گیلا دن۔ دوسرا ہے ریکارڈز کی تعداد: کتنی بار کسی دن نے اپنے سے پہلے کے ہر دن کو پیچھے چھوڑا۔ زیادہ سے زیادہ قدر بس آخری ریکارڈ ہے۔

مگر کوئی بھی عدد یہ نہیں بتاتا کہ چوٹی تک کیسے پہنچا گیا۔ کیا یہ ریکارڈز کی ایک لمبی سیڑھی تھی، ہر ایک پچھلے سے ذرا اونچا؟ یا ایک طویل سکون کے بعد ایک غیر معمولی موسلا دھار بارش؟ وجدان کہتا ہے کہ دونوں ساتھ ساتھ چلنے چاہییں: ایک بہت بلند زیادہ سے زیادہ قدر کے لیے راستے میں بہت سے ریکارڈز درکار ہونے چاہییں۔ Satya Majumdar (پیرس ساکلے یونیورسٹی اور CNRS)، Sanjib Sabhapandit (رامن ریسرچ انسٹی ٹیوٹ، ہندوستان) اور Grégory Schehr (سوربون یونیورسٹی اور CNRS) نے اس تعلق کا درست حساب لگانے کا بیڑا اٹھایا۔ وہ نوٹ کرتے ہیں کہ زیادہ سے زیادہ قدروں اور ریکارڈز کا الگ الگ مطالعہ دہائیوں سے ہو رہا ہے، لیکن ان کے مشترکہ رویے پر “حیرت انگیز طور پر بہت کم توجہ” دی گئی ہے۔

n قدروں کا ایک بے ترتیب سلسلہ جس میں K ریکارڈز (R₁ … R_K) ہیں؛ آخری ریکارڈ زیادہ سے زیادہ قدر M ہے۔ ریکارڈز کے درمیان وقفے ℓ ریکارڈز کی “عمریں” ہیں۔ — شکل 1، Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026)، arXiv:2610.23217، CC BY 4.0۔

بالکل کوئی تعلق نہیں

سب سے سادہ صورت سے شروع کریں: ہر قدر ایک ہی ہموار تقسیم سے آزادانہ طور پر لی گئی ہو، بغیر کسی خلا یا اچانک ابھار کے۔ یہاں ریکارڈز کی ایک مشہور خاصیت پہلے سے موجود ہے: اوسطاً n قدروں کے سلسلے میں 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n ریکارڈز ہوتے ہیں، تقسیم کوئی بھی ہو۔ یہ تعداد صرف n کے لوگارتھم کی طرح بڑھتی ہے — ریکارڈز توڑنا مشکل سے مشکل تر ہوتا جاتا ہے۔

ٹیم کا پہلا نتیجہ، ان کے الفاظ میں، “کافی حیران کن اور غیر متوقع” ہے۔ ایسے کسی بھی سلسلے کے لیے، چاہے اس کی لمبائی کچھ بھی ہو، ریکارڈز کی تعداد K اور زیادہ سے زیادہ قدر M مکمل طور پر آزاد ہیں۔ ان کا مشترکہ احتمال دونوں الگ احتمالات کے حاصلِ ضرب میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ یہ جاننا کہ کتنے ریکارڈز ٹوٹے، سب سے اونچے کی بلندی کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا، اور اس کا الٹ بھی۔

خشک دن سب کچھ بدل دیتے ہیں

حقیقی بارش ہموار نہیں ہوتی: کچھ دنوں میں بارش بالکل نہیں ہوتی۔ مصنفین اسے خشک دن (صفر بارش) کے احتمال q، اور گیلے دنوں میں بارش کی مقدار کے لیے ایک ہموار تقسیم سے ماڈل کرتے ہیں۔ ریکارڈز صرف گیلے دنوں میں گنے جاتے ہیں۔

اب ایک تعلق ابھر آتا ہے۔ گیلے دنوں کی ایک مقررہ تعداد کے لیے دونوں مقداریں آزاد رہتی ہیں۔ یہ گیلے دنوں کی بے ترتیب تعداد ہے جو انہیں باندھتی ہے۔ ایک طویل خشک دور کے دوران نہ ریکارڈز کی گنتی بدل سکتی ہے نہ زیادہ سے زیادہ قدر: دونوں ساتھ جم جاتے ہیں، اور یہ مشترکہ جمود ان میں باہمی تعلق پیدا کرتا ہے۔ بہت لمبے سلسلوں میں یہ تعلق پھر ماند پڑ جاتا ہے۔

دونوں اثرات مقابلہ کرتے ہیں، اور نتیجہ ایک قطعی حد پر پلٹ جاتا ہے۔ خشک دنوں کے ایک فیصلہ کن تناسب q_c سے نیچے، تعلق (جسے کوویریئنس سے ناپا جاتا ہے) سلسلہ لمبا ہونے کے ساتھ صرف گھٹتا ہے۔ q_c سے اوپر یہ پہلے بڑھتا ہے، عروج پر پہنچتا ہے، پھر گھٹتا ہے۔ مصنفین یہ حد ٹھیک ٹھیک دیتے ہیں:

q_c = ½(−b + √(b² + 8))، جہاں b = 1 + 2µ₁/µ₂

جہاں µ₁ اور µ₂ گیلے دنوں کی بارش کی تقسیم سے نکالی گئی دو سادہ اوسطیں ہیں۔ قوت نمائی (exponential) تقسیم والی بارش کے لیے q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0.372 ہے۔ یکساں تقسیم والی بارش کے لیے √6 − 2 ≈ 0.449۔ وہ لکھتے ہیں کہ اس موڑ کی تیزی “حیران کن ہے اور ہرگز معمولی نہیں”۔ لمبے سلسلوں میں تعلق سلسلے کی لمبائی کی ایک طاقت کے طور پر گھٹتا ہے، جس کا قوت نما اس بات سے طے ہوتا ہے کہ بارش کی تقسیم کی دُم کتنی بھاری ہے، q سے نہیں۔

جرمن بارش پر آزمایا گیا

پیش گوئی کو آزمانے کے لیے ٹیم نے جرمن موسمیاتی سروس، Deutscher Wetterdienst، کے روزانہ ڈیٹا کا رخ کیا: 6,105 اسٹیشن۔ موسم کی ایک دن سے دوسرے دن تک کی یادداشت ختم کرنے کے لیے انہوں نے ہر تیرہ دنوں میں سے صرف ایک دن رکھا۔ پھر انہوں نے دو گروپ بنائے:

• گروپ A: 232 اسٹیشن جن کے 1974 سے 2013 تک کے مکمل ریکارڈ ہیں اور تقریباً آدھے دن خشک ہیں (q ≈ 0.50)۔ ان کی بارش کے لیے پیش گوئی کردہ حد 0.315 تھی، اس لیے تعلق کو پہلے بڑھنا، پھر گرنا چاہیے۔
• گروپ B: کم خشک دنوں والے 15 اسٹیشنوں کے نومبر کے ریکارڈ (q ≈ 0.23)، جو ان کی پیش گوئی کردہ حد 0.28 سے نیچے ہیں۔ تعلق کو صرف گرنا چاہیے۔

نظریے نے صرف خشک دنوں کا ناپا گیا تناسب اور بارش کی ناپی گئی تقسیم استعمال کی، کسی قابلِ ایڈجسٹ پیرامیٹر کے بغیر۔ دونوں گروپوں نے پیش گوئی کردہ شکل کی پیروی کی۔

جرمن بارش کا ڈیٹا (نیلے مربعے) درست نظریے (سرخ) کے مقابلے میں۔ بائیں: تقریباً 50% خشک دنوں والے اسٹیشن، حد سے اوپر — تعلق اٹھتا ہے، پھر گرتا ہے۔ دائیں: 23% خشک دنوں والا نومبر کا ڈیٹا، حد سے نیچے — یہ صرف گرتا ہے۔ — شکل 3، Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026)، arXiv:2610.23217، CC BY 4.0۔

حقیقی بارش ایک دن سے دوسرے دن تک یادداشت بھی رکھتی ہے۔ ایسی یادداشت والے سلسلوں پر مصنفین کا ابتدائی کام اشارہ کرتا ہے کہ تب تعلق ہمیشہ گرنے سے پہلے اٹھتا ہے، یادداشت کی قوت کچھ بھی ہو — یہ اگلا حساب ہے جسے وہ خشک دنوں سمیت درست بنانا چاہیں گے۔