CONTAR OS RECORDES NÃO DIZ NADA SOBRE O MAIOR

Imagine uma série de medições diárias de chuva. Dois números resumem os seus extremos. O primeiro é o máximo: o dia mais chuvoso. O segundo é o número de recordes: quantas vezes um dia superou todos os dias anteriores. O máximo é simplesmente o último recorde.

Mas nenhum dos dois números diz como o pico foi alcançado. Foi uma longa escada de recordes, cada um um pouco mais alto que o anterior? Ou um único temporal excepcional depois de uma longa calmaria? A intuição diz que as duas coisas deveriam andar juntas: um máximo muito alto deveria exigir muitos recordes pelo caminho. Satya Majumdar (Universidade Paris-Saclay e CNRS), Sanjib Sabhapandit (Raman Research Institute, Índia) e Grégory Schehr (Universidade Sorbonne e CNRS) se propuseram a calcular essa ligação com exatidão. Máximos e recordes foram estudados, cada um, por décadas, observam eles, mas o seu comportamento conjunto recebeu “notavelmente pouca atenção”.

Um gráfico de barras de uma série aleatória: valores recordes marcados R1, R2, R3 até o máximo RK = M, com os intervalos entre recordes indicados embaixo.

Uma série aleatória de n valores com K recordes (R₁ … R_K); o último recorde é o máximo M. Os intervalos ℓ entre recordes são as “idades” dos recordes. — Figura 1, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Exatamente nenhuma ligação

Comece pelo caso mais simples: cada valor tirado de forma independente da mesma distribuição suave, sem lacunas nem picos. Aqui os recordes já têm uma propriedade famosa: em média, uma série de n valores contém 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n recordes, qualquer que seja a distribuição. Esse número cresce apenas como o logaritmo de n — os recordes ficam cada vez mais difíceis de bater.

O primeiro resultado da equipe é, nas suas palavras, “bastante impressionante e inesperado”. Para qualquer série desse tipo, de qualquer comprimento, o número de recordes K e o máximo M são completamente independentes. A sua probabilidade conjunta se decompõe no produto das duas probabilidades separadas. Saber quantos recordes foram batidos não diz nada sobre a altura do mais alto, e vice-versa.

Os dias secos mudam tudo

A chuva real não é suave: em alguns dias não chove nada. Os autores modelam isso com uma probabilidade q de dia seco (zero de chuva) e uma distribuição suave para a quantidade nos dias chuvosos. Os recordes são contados apenas entre os dias chuvosos.

Agora surge uma ligação. Para um número fixo de dias chuvosos, as duas grandezas continuam independentes. É o número aleatório de dias chuvosos que as amarra. Durante um longo período de seca, nem a contagem de recordes nem o máximo podem mudar: ficam congelados juntos, e esse congelamento compartilhado os correlaciona. Em séries muito longas, a ligação volta a se apagar.

Os dois efeitos competem, e o resultado vira num limiar preciso. Abaixo de uma proporção crítica de dias secos q_c, a ligação (medida pela covariância) só diminui à medida que a série fica mais longa. Acima de q_c, ela primeiro cresce, atinge um pico e depois diminui. Os autores dão o limiar exato:

q_c = ½(−b + √(b² + 8)), com b = 1 + 2µ₁/µ₂

onde µ₁ e µ₂ são duas médias simples calculadas a partir da distribuição da chuva nos dias chuvosos. Para uma chuva com distribuição exponencial, q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0,372. Para uma chuva com distribuição uniforme, √6 − 2 ≈ 0,449. A nitidez dessa virada, escrevem eles, é “surpreendente e nada trivial”. Em séries longas, a ligação decai como uma potência do comprimento da série, com um expoente determinado pelo peso da cauda da distribuição da chuva, e não por q.

Testado com a chuva alemã

Para testar a previsão, a equipe recorreu a dados diários do serviço meteorológico alemão, o Deutscher Wetterdienst: 6.105 estações. Para eliminar a memória do tempo de um dia para o outro, mantiveram apenas um dia em cada treze. Depois formaram dois grupos:

Grupo A: 232 estações com registros completos de 1974 a 2013 e cerca de metade dos dias secos (q ≈ 0,50). O limiar previsto para a sua chuva era 0,315, então a ligação deveria subir e depois cair.
Grupo B: os registros de novembro de 15 estações com poucos dias secos (q ≈ 0,23), abaixo do seu limiar previsto de 0,28. A ligação deveria apenas cair.

A teoria usou apenas a proporção medida de dias secos e a distribuição de chuva medida, sem nenhum parâmetro ajustável. Os dois grupos seguiram a forma prevista.

Dois gráficos da covariância em função do comprimento da série: à esquerda a curva sobe e depois desce; à direita ela desce de forma contínua. Pontos de dados azuis ficam sobre curvas teóricas vermelhas.

Dados de chuva alemães (quadrados azuis) comparados com a teoria exata (vermelho). À esquerda: estações com cerca de 50% de dias secos, acima do limiar — a ligação sobe e depois desce. À direita: dados de novembro com 23% de dias secos, abaixo do limiar — ela só desce. — Figura 3, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

A chuva real também carrega memória de um dia para o outro. O trabalho preliminar dos autores sobre séries com esse tipo de memória sugere que a ligação, nesse caso, sempre sobe antes de cair, qualquer que seja a força da memória — o próximo cálculo que eles gostariam de tornar exato, com os dias secos incluídos.