記録の数を数えても、最大の記録については何もわからない

毎日の降水量の測定値の系列を思い浮かべてほしい。その極端な値は、2つの数で要約できる。1つ目は最大値、つまり最も雨の多かった日だ。2つ目は記録の数、つまりある日がそれ以前のすべての日を上回った回数である。最大値とは、単に最後の記録のことだ。

しかし、どちらの数も、その頂点にどのように到達したかは語らない。前回より少しずつ高い記録が続く長い階段だったのか。それとも長い静けさの後の、一度きりの例外的な豪雨だったのか。直感では、この2つは連動するはずだ。非常に高い最大値に至るには、途中で多くの記録が必要なはずだ、と。サティヤ・マジュムダール（Satya Majumdar、パリ＝サクレー大学およびCNRS）、サンジブ・サバパンディット（Sanjib Sabhapandit、インドのラマン研究所）、グレゴリー・シェール（Grégory Schehr、ソルボンヌ大学およびCNRS）は、このつながりを厳密に計算しようと試みた。最大値と記録はそれぞれ何十年も研究されてきたが、両者の同時的な振る舞いは「驚くほどわずかな注目」しか受けてこなかった、と彼らは指摘する。

ランダムな系列の棒グラフ：記録値がR1、R2、R3と最大値RK = Mまで印をつけられ、記録の間の間隔が下に示されている。

K個の記録（R₁ … R_K）をもつn個の値のランダムな系列。最後の記録が最大値Mである。記録の間の間隔ℓは、記録の「寿命」である。— 図1、Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

つながりはまったくない

最も単純な場合から始めよう。それぞれの値が、隙間も突出もない同じ滑らかな分布から独立に引かれる場合だ。ここで記録には、すでに有名な性質がある。平均すると、n個の値からなる系列には、分布が何であっても1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n個の記録が含まれる。この数はnの対数のようにしか増えない。記録はどんどん破りにくくなるのだ。

チームの最初の結果は、彼らの言葉で言えば「かなり衝撃的で予想外」である。そのようなどんな系列でも、長さがいくつであっても、記録の数Kと最大値Mは完全に独立である。両者の同時確率は、それぞれ別々の確率の積に分解される。いくつの記録が破られたかを知っても、最高の記録がどれほど高いかについては何もわからず、その逆も同じである。

雨の降らない日がすべてを変える

現実の降水量は滑らかではない。まったく雨の降らない日もある。著者らはこれを、雨の降らない日（雨量ゼロ）の確率qと、雨の日の雨量の滑らかな分布によってモデル化する。記録は雨の日の中だけで数える。

すると、つながりが現れる。雨の日の数を固定すれば、2つの量は独立なままだ。両者を結びつけるのは、雨の日の数がランダムであることなのである。長い乾燥期間の間は、記録の数も最大値も変わりえない。両者はそろって凍りつき、その共通の凍結が両者を相関させる。非常に長い系列では、つながりは再び弱まる。

2つの効果が競い合い、結果はある精密な閾値で反転する。雨の降らない日の割合が臨界値q_cより小さいと、つながり（共分散で測る）は系列が長くなるにつれて縮むだけだ。q_cより大きいと、まず強まり、ピークに達し、それから縮む。著者らは閾値を厳密に与えている。

q_c = ½(−b + √(b² + 8))、ただし b = 1 + 2µ₁/µ₂

ここでµ₁とµ₂は、雨の日の降水量の分布から計算される2つの単純な平均である。雨量が指数分布に従う場合、q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0.372。一様分布に従う場合は√6 − 2 ≈ 0.449である。この切り替わりの鋭さは「驚くべきもので、決して自明ではない」と彼らは書く。長い系列では、つながりは系列の長さのべき乗で減衰し、その指数はqではなく、降水量の分布の裾がどれほど重いかによって決まる。

ドイツの雨で検証

予測を検証するため、チームはドイツの気象局（Deutscher Wetterdienst）の日別データ、6105か所の観測所のデータに目を向けた。天気の日々の記憶を取り除くため、13日に1日だけを残した。そして2つのグループをつくった。

グループA：1974年から2013年までの完全な記録をもち、およそ半分の日が雨の降らない日（q ≈ 0.50）である232か所の観測所。その雨について予測される閾値は0.315なので、つながりは強まり、それから弱まるはずである。
グループB：雨の降らない日が少ない（q ≈ 0.23）15か所の観測所の11月の記録。予測される閾値0.28より下にある。つながりは弱まるだけのはずである。

理論が用いたのは、測定された雨の降らない日の割合と測定された降水量の分布だけで、調整可能なパラメーターは一切なかった。どちらのグループも予測された形に従った。

系列の長さに対する共分散の2つのグラフ：左では曲線が上昇してから下降し、右では一貫して下降する。青いデータ点が赤い理論曲線の上に乗っている。

ドイツの降水量データ（青い四角）と厳密な理論（赤）。左：雨の降らない日が約50%で閾値より上の観測所。つながりは強まり、それから弱まる。右：雨の降らない日が23%で閾値より下の11月のデータ。弱まるだけである。— 図3、Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

現実の降水量には、ある日から次の日への記憶もある。そのような記憶をもつ系列についての著者らの予備的な研究は、記憶の強さにかかわらず、つながりは常に弱まる前にまず強まることを示唆している。雨の降らない日も含めて、それを厳密にすることが、彼らが次に行いたい計算である。