ĐẾM SỐ KỶ LỤC KHÔNG NÓI GÌ VỀ KỶ LỤC LỚN NHẤT

Hãy hình dung một chuỗi số đo lượng mưa hằng ngày. Hai con số tóm tắt các giá trị cực đoan của nó. Con số thứ nhất là giá trị cực đại: ngày mưa nhiều nhất. Con số thứ hai là số kỷ lục: bao nhiêu lần một ngày vượt mọi ngày trước đó. Giá trị cực đại đơn giản là kỷ lục cuối cùng.

Thế nhưng không con số nào cho biết đỉnh đã được chạm tới như thế nào. Đó là một cầu thang dài gồm nhiều kỷ lục, mỗi kỷ lục cao hơn cái trước một chút? Hay là một trận mưa như trút bất thường sau một thời gian dài yên ả? Trực giác mách bảo hai đại lượng phải đi cùng nhau: một giá trị cực đại rất cao hẳn phải cần nhiều kỷ lục dọc đường. Satya Majumdar (Đại học Paris-Saclay và CNRS), Sanjib Sabhapandit (Viện Nghiên cứu Raman, Ấn Độ) và Grégory Schehr (Đại học Sorbonne và CNRS) đã bắt tay tính chính xác mối liên hệ này. Họ lưu ý rằng giá trị cực đại và kỷ lục, mỗi thứ đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ, nhưng hành vi chung của chúng nhận được “sự chú ý ít đến đáng ngạc nhiên”.

Biểu đồ cột của một chuỗi ngẫu nhiên: các giá trị kỷ lục được đánh dấu R1, R2, R3 cho đến giá trị cực đại RK = M, với các khoảng cách giữa các kỷ lục được chỉ ra bên dưới.

Một chuỗi ngẫu nhiên gồm n giá trị với K kỷ lục (R₁ … R_K); kỷ lục cuối cùng là giá trị cực đại M. Các khoảng cách ℓ giữa các kỷ lục là “tuổi” của các kỷ lục. — Figure 1, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Hoàn toàn không liên hệ

Bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất: mỗi giá trị được rút độc lập từ cùng một phân phối trơn, không có khoảng trống hay đỉnh nhọn. Ở đây các kỷ lục đã có một tính chất nổi tiếng: trung bình, một chuỗi n giá trị chứa 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n kỷ lục, bất kể phân phối là gì. Con số này chỉ tăng như logarit của n — kỷ lục ngày càng khó bị phá.

Kết quả đầu tiên của nhóm, theo lời họ, “khá nổi bật và bất ngờ”. Với mọi chuỗi như vậy, dài bao nhiêu cũng được, số kỷ lục K và giá trị cực đại M hoàn toàn độc lập. Xác suất đồng thời của chúng tách thành tích của hai xác suất riêng. Biết đã có bao nhiêu kỷ lục bị phá không cho bạn biết gì về độ cao của kỷ lục cao nhất, và ngược lại.

Những ngày khô thay đổi tất cả

Lượng mưa thực không trơn: có những ngày trời hoàn toàn không mưa. Các tác giả mô hình hóa điều này bằng một xác suất q cho một ngày khô (lượng mưa bằng không), và một phân phối trơn cho lượng mưa vào những ngày có mưa. Kỷ lục chỉ được đếm trong những ngày có mưa.

Giờ thì một mối liên hệ xuất hiện. Với một số ngày mưa cố định, hai đại lượng vẫn độc lập. Chính số ngày mưa ngẫu nhiên đã buộc chúng lại với nhau. Trong một đợt khô hạn dài, cả số kỷ lục lẫn giá trị cực đại đều không thể thay đổi: chúng bị đóng băng cùng nhau, và sự đóng băng chung đó làm chúng tương quan. Với những chuỗi rất dài, mối liên hệ lại phai đi.

Hai hiệu ứng cạnh tranh nhau, và kết quả đảo chiều tại một ngưỡng chính xác. Dưới một tỉ lệ ngày khô tới hạn q_c, mối liên hệ (đo bằng hiệp phương sai) chỉ co lại khi chuỗi dài ra. Trên q_c, nó tăng lên trước, đạt đỉnh, rồi co lại. Các tác giả đưa ra ngưỡng này một cách chính xác:

q_c = ½(−b + √(b² + 8)), với b = 1 + 2µ₁/µ₂

trong đó µ₁ và µ₂ là hai giá trị trung bình đơn giản tính từ phân phối lượng mưa của những ngày có mưa. Với lượng mưa có phân phối mũ, q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0,372. Với lượng mưa có phân phối đều, √6 − 2 ≈ 0,449. Độ sắc nét của bước chuyển này, họ viết, là “đáng ngạc nhiên và không hề tầm thường”. Với những chuỗi dài, mối liên hệ suy giảm theo một lũy thừa của độ dài chuỗi, với số mũ do độ nặng của phần đuôi phân phối lượng mưa quyết định, chứ không phải do q.

Đối chiếu với mưa ở Đức

Để kiểm tra dự đoán, nhóm dùng dữ liệu hằng ngày của cơ quan khí tượng Đức, Deutscher Wetterdienst: 6.105 trạm. Để loại bỏ “trí nhớ” ngày qua ngày của thời tiết, họ chỉ giữ một ngày trong mười ba ngày. Rồi họ lập hai nhóm:

Nhóm A: 232 trạm có số liệu đầy đủ từ 1974 đến 2013 và khoảng một nửa số ngày khô (q ≈ 0,50). Ngưỡng dự đoán cho lượng mưa của họ là 0,315, nên mối liên hệ phải tăng lên, rồi giảm xuống.
Nhóm B: số liệu tháng Mười Một của 15 trạm có ít ngày khô (q ≈ 0,23), dưới ngưỡng dự đoán của chúng là 0,28. Mối liên hệ phải chỉ giảm.

Lý thuyết chỉ dùng tỉ lệ ngày khô đo được và phân phối lượng mưa đo được, không có tham số nào được điều chỉnh. Cả hai nhóm đều theo đúng hình dạng dự đoán.

Hai đồ thị hiệp phương sai theo độ dài chuỗi: bên trái đường cong tăng rồi giảm; bên phải nó giảm đều. Các điểm dữ liệu màu xanh nằm trên các đường lý thuyết màu đỏ.

Dữ liệu lượng mưa ở Đức (ô vuông xanh) so với lý thuyết chính xác (đỏ). Trái: các trạm có khoảng 50% ngày khô, trên ngưỡng — mối liên hệ tăng lên, rồi giảm xuống. Phải: dữ liệu tháng Mười Một với 23% ngày khô, dưới ngưỡng — nó chỉ giảm. — Figure 3, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Lượng mưa thực còn mang “trí nhớ” từ ngày này sang ngày khác. Công trình sơ bộ của các tác giả về các chuỗi có trí nhớ như vậy cho thấy khi đó mối liên hệ luôn tăng lên trước khi giảm, bất kể trí nhớ mạnh đến đâu — đó là phép tính tiếp theo mà họ muốn làm cho chính xác, tính cả những ngày khô.