ЧИСЛО РЕКОРДОВ НИЧЕГО НЕ ГОВОРИТ О САМОМ БОЛЬШОМ

Представьте ряд ежедневных измерений осадков. Его экстремумы описываются двумя числами. Первое — максимум: самый дождливый день. Второе — число рекордов: сколько раз день превзошёл все предыдущие. Максимум — это просто последний рекорд.

Но ни одно из этих чисел не говорит, как был достигнут пик. Была ли это длинная лестница рекордов, каждый чуть выше предыдущего? Или один исключительный ливень после долгого затишья? Интуиция подсказывает, что одно должно идти рука об руку с другим: очень высокий максимум, казалось бы, требует многих рекордов по пути. Сатья Маджумдар (Университет Париж-Сакле и CNRS), Санджиб Сабхапандит (Исследовательский институт Рамана, Индия) и Грегори Шер (Университет Сорбонна и CNRS) решили вычислить эту связь точно. Максимумы и рекорды по отдельности изучают десятилетиями, отмечают они, но их совместному поведению уделялось «удивительно мало внимания».

Столбчатая диаграмма случайного ряда: рекордные значения отмечены R1, R2, R3 вплоть до максимума RK = M, внизу показаны промежутки между рекордами.

Случайный ряд из n значений с K рекордами (R₁ … R_K); последний рекорд — максимум M. Промежутки ℓ между рекордами — «возрасты» рекордов. — Рисунок 1, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Ровно никакой связи

Начнём с простейшего случая: каждое значение независимо берётся из одного и того же гладкого распределения, без пропусков и выбросов. Здесь у рекордов уже есть знаменитое свойство: в среднем ряд из n значений содержит 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n рекордов, каким бы ни было распределение. Это число растёт лишь как логарифм n — рекорды бить всё труднее и труднее.

Первый результат команды, по их словам, «довольно поразительный и неожиданный». Для любого такого ряда любой длины число рекордов K и максимум M полностью независимы. Их совместная вероятность распадается в произведение двух отдельных. Знание того, сколько рекордов было побито, ничего не говорит о высоте самого высокого, и наоборот.

Сухие дни меняют всё

Настоящие осадки не гладкие: в некоторые дни дождя нет вовсе. Авторы моделируют это вероятностью q сухого дня (ноль осадков) и гладким распределением количества осадков в дождливые дни. Рекорды считаются только среди дождливых дней.

Теперь связь появляется. При фиксированном числе дождливых дней обе величины остаются независимыми. Связывает их именно случайное число дождливых дней. Во время долгой засухи ни число рекордов, ни максимум измениться не могут: они заморожены вместе, и это общее замораживание их коррелирует. На очень длинных рядах связь снова угасает.

Два эффекта соперничают, и исход переключается на точном пороге. Ниже критической доли сухих дней q_c связь (измеряемая ковариацией) только убывает по мере удлинения ряда. Выше q_c она сначала растёт, достигает пика, а затем убывает. Авторы дают порог в точном виде:

q_c = ½(−b + √(b² + 8)), где b = 1 + 2µ₁/µ₂

а µ₁ и µ₂ — два простых средних, вычисляемых по распределению осадков в дождливые дни. Для экспоненциально распределённого дождя q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0,372. Для равномерно распределённого — √6 − 2 ≈ 0,449. Резкость этого переключения, пишут они, «удивительна и далеко не тривиальна». На длинных рядах связь затухает как степень длины ряда, с показателем, который определяется тем, насколько тяжёлый у распределения дождя хвост, а не q.

Проверка немецким дождём

Чтобы проверить предсказание, команда обратилась к ежедневным данным Немецкой метеорологической службы (Deutscher Wetterdienst): 6105 станций. Чтобы убрать «память» погоды от одного дня к следующему, оставили лишь один день из тринадцати. Затем составили две группы:

Группа A: 232 станции с полными записями с 1974 по 2013 год и примерно половиной сухих дней (q ≈ 0,50). Предсказанный порог для их дождя — 0,315, так что связь должна сначала расти, затем падать.
Группа B: ноябрьские записи 15 станций с малым числом сухих дней (q ≈ 0,23), ниже их предсказанного порога 0,28. Связь должна только падать.

Теория использовала лишь измеренную долю сухих дней и измеренное распределение осадков, без единого подгоночного параметра. Обе группы следовали предсказанной форме.

Два графика ковариации в зависимости от длины ряда: слева кривая растёт, затем падает; справа она монотонно падает. Синие точки данных лежат на красных теоретических кривых.

Немецкие данные по осадкам (синие квадраты) в сравнении с точной теорией (красный). Слева: станции примерно с 50% сухих дней, выше порога — связь растёт, затем падает. Справа: ноябрьские данные с 23% сухих дней, ниже порога — она только падает. — Рисунок 3, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

У настоящих осадков есть ещё и память от одного дня к следующему. Предварительная работа авторов над рядами с такой памятью указывает, что в этом случае связь всегда сначала растёт, а потом падает, какой бы сильной ни была память, — это следующее вычисление, которое они хотели бы сделать точным, с учётом сухих дней.