MENGHITUNG REKOR TIDAK MEMBERI TAHU APA PUN TENTANG YANG TERBESAR

Bayangkan sederet pengukuran curah hujan harian. Dua angka merangkum nilai-nilai ekstremnya. Yang pertama adalah maksimum: hari terbasah. Yang kedua adalah jumlah rekor: berapa kali sebuah hari mengalahkan semua hari sebelumnya. Maksimum tidak lain adalah rekor terakhir.

Namun tak satu pun dari kedua angka itu menyatakan bagaimana puncaknya dicapai. Apakah lewat tangga rekor yang panjang, tiap rekor sedikit lebih tinggi dari sebelumnya? Atau satu hujan deras luar biasa setelah masa tenang yang panjang? Intuisi mengatakan keduanya mestinya berjalan bersama: maksimum yang sangat tinggi semestinya membutuhkan banyak rekor di sepanjang jalan. Satya Majumdar (Universitas Paris-Saclay dan CNRS), Sanjib Sabhapandit (Raman Research Institute, India), dan Grégory Schehr (Universitas Sorbonne dan CNRS) berupaya menghitung keterkaitan ini secara eksak. Maksimum dan rekor masing-masing telah dipelajari selama puluhan tahun, catat mereka, tetapi perilaku gabungannya mendapat “perhatian yang sangat sedikit”.

Diagram batang sebuah deret acak: nilai-nilai rekor ditandai R1, R2, R3 hingga maksimum RK = M, dengan jarak antar-rekor ditunjukkan di bawahnya.

Sebuah deret acak berisi n nilai dengan K rekor (R₁ … R_K); rekor terakhir adalah maksimum M. Jarak ℓ antar-rekor adalah “umur” rekor-rekor itu. — Gambar 1, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Sama sekali tidak berkaitan

Mulailah dari kasus paling sederhana: setiap nilai diambil secara independen dari distribusi mulus yang sama, tanpa celah atau lonjakan. Di sini rekor sudah punya sifat yang terkenal: rata-rata, deret berisi n nilai mengandung 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n rekor, apa pun distribusinya. Angka itu hanya tumbuh seperti logaritma n — rekor makin lama makin sulit dipecahkan.

Hasil pertama tim ini, dalam kata-kata mereka, “cukup mencolok dan tak terduga”. Untuk deret semacam itu, berapa pun panjangnya, jumlah rekor K dan maksimum M sepenuhnya independen. Peluang gabungannya terpecah menjadi hasil kali kedua peluang terpisahnya. Mengetahui berapa rekor yang dipecahkan tidak memberi tahu apa pun tentang seberapa tinggi rekor teratas, dan sebaliknya.

Hari kering mengubah segalanya

Hujan sungguhan tidak mulus: pada sebagian hari sama sekali tidak turun hujan. Para penulis memodelkan hal ini dengan peluang q untuk hari kering (nol hujan), dan distribusi mulus untuk jumlah hujan pada hari basah. Rekor hanya dihitung di antara hari-hari basah.

Kini muncullah keterkaitan. Untuk jumlah hari basah yang tetap, kedua besaran tetap independen. Jumlah hari basah yang acak-lah yang mengikat keduanya. Selama masa kering yang panjang, baik jumlah rekor maupun maksimum tidak bisa berubah: keduanya membeku bersama, dan pembekuan bersama itu membuat keduanya berkorelasi. Pada deret yang sangat panjang, keterkaitan itu kembali memudar.

Kedua efek itu bersaing, dan hasilnya berbalik pada ambang yang tepat. Di bawah proporsi kritis hari kering q_c, keterkaitan (diukur dengan kovarians) hanya mengecil seiring deret makin panjang. Di atas q_c, ia mula-mula tumbuh, mencapai puncak, lalu mengecil. Para penulis memberikan ambang itu secara eksak:

q_c = ½(−b + √(b² + 8)), dengan b = 1 + 2µ₁/µ₂

di mana µ₁ dan µ₂ adalah dua rata-rata sederhana yang dihitung dari distribusi curah hujan hari basah. Untuk hujan berdistribusi eksponensial, q_c = (√33 − 5)/2 ≈ 0,372. Untuk hujan berdistribusi seragam, √6 − 2 ≈ 0,449. Ketajaman peralihan ini, tulis mereka, “mengejutkan dan jauh dari sepele”. Pada deret panjang, keterkaitan meluruh sebagai pangkat dari panjang deret, dengan eksponen yang ditentukan oleh seberapa berat ekor distribusi hujan, bukan oleh q.

Diuji dengan hujan Jerman

Untuk menguji ramalan itu, tim memakai data harian dari dinas cuaca Jerman, Deutscher Wetterdienst: 6.105 stasiun. Untuk menghilangkan “ingatan” cuaca dari satu hari ke hari berikutnya, mereka hanya menyimpan satu hari dari tiap tiga belas hari. Lalu mereka menyusun dua kelompok:

Kelompok A: 232 stasiun dengan catatan lengkap dari 1974 hingga 2013 dan sekitar separuh harinya kering (q ≈ 0,50). Ambang yang diramalkan untuk hujan mereka adalah 0,315, jadi keterkaitannya semestinya naik, lalu turun.
Kelompok B: catatan bulan November dari 15 stasiun dengan sedikit hari kering (q ≈ 0,23), di bawah ambang yang diramalkan sebesar 0,28. Keterkaitannya semestinya hanya turun.

Teori hanya memakai proporsi hari kering yang terukur dan distribusi curah hujan yang terukur, tanpa parameter yang dapat disetel. Kedua kelompok mengikuti bentuk yang diramalkan.

Dua grafik kovarians terhadap panjang deret: di kiri kurva naik lalu turun; di kanan kurva turun terus. Titik-titik data biru berada di atas kurva teori merah.

Data curah hujan Jerman (persegi biru) dibandingkan dengan teori eksak (merah). Kiri: stasiun dengan sekitar 50% hari kering, di atas ambang — keterkaitan naik, lalu turun. Kanan: data November dengan 23% hari kering, di bawah ambang — keterkaitan hanya turun. — Gambar 3, Majumdar, Sabhapandit & Schehr (2026), arXiv:2610.23217, CC BY 4.0.

Hujan sungguhan juga membawa ingatan dari satu hari ke hari berikutnya. Kajian awal para penulis tentang deret dengan ingatan semacam itu menunjukkan bahwa keterkaitan selalu naik dulu sebelum turun, berapa pun kuatnya ingatan itu — perhitungan berikutnya yang ingin mereka buat eksak, termasuk hari kering.