ग्राफ़िक्स कार्डों पर तोड़ी गई 155 अंकों की संख्या

किसी बड़ी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना कठिन है, और यही कठिनाई क्रिप्टोग्राफ़ी (कूटलेखन) के लिए मायने रखती है — इसीलिए शोधपत्र ध्यान से बताता है कि उसका नतीजा किस चीज़ को ख़तरे में नहीं डालता। सार्वजनिक “RSA चुनौती” संख्याएँ गुणनखंडन विधियों के लिए मानक (बेंचमार्क) का काम करती हैं। RSA-155 उनमें से एक है: 155 अंक, यानी 512 बिट।

दो छलनियाँ, दोनों का अपना रिकॉर्ड

दो तरह के एल्गोरिद्म हावी हैं। बहुत बड़ी संख्याओं के लिए नंबर फ़ील्ड सीव (संख्या क्षेत्र छलनी) चैंपियन है: इसने 1999 में ही RSA-155 को तोड़ दिया था, और शोधपत्र के अनुसार, सामान्य रिकॉर्ड अब 2026 में तोड़ी गई 270 अंकों की संख्या RSA-896 का है। पुरानी क्वाड्रेटिक सीव (द्विघात छलनी) अनंतस्पर्शी रूप से धीमी है और, लेखकों के ही शब्दों में, सामान्य रिकॉर्डों के लिए “ग़लत औज़ार” है। फिर भी इसकी अपनी रिकॉर्ड सूची है: इससे तोड़ी गई सबसे बड़ी संख्या RSA-150 थी, जून 2025 में, 11,664 CPU कोर-घंटे लगाकर।

क्वाड्रेटिक सीव ऐसी बहुत-सी छोटी संख्याएँ खोजती है जो छोटे अभाज्यों के एक समूह पर पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं, फिर रैखिक बीजगणित (लीनियर अलजेब्रा) से उन्हें मिलाकर दो वर्ग x² और y² बनाती है जो N मॉड्यूलो बराबर हों। फिर एक महत्तम समापवर्तक (GCD) एक गुणनखंड उजागर कर देता है। कंप्यूटर पर यह ग्राफ़िक्स प्रोसेसरों (GPU) के लिए एक दुःस्वप्न है: मेमोरी एक्सेस किसी भी कैश से बहुत दूर तक बिखरे होते हैं, परीक्षण शाखाओं (ब्रांचों) से भरे होते हैं, और आख़िरी बीजगणित एक ऐसे द्विआधारी (बाइनरी) अंकगणित में चलता है जिसे किसी भी विक्रेता की लाइब्रेरी समर्थन नहीं देती। GPU पर पहले के प्रयासों ने सिर्फ़ अलग-अलग क़दमों को तेज़ किया था।

सब कुछ ग्राफ़िक्स कार्ड पर

जर्मनी के पाडरबॉर्न विश्वविद्यालय के गणित संस्थान के Fabian Januszewski और Christoph Heinrichs ने CUDA-MPQS बनाया, एक ओपन-सोर्स क्वाड्रेटिक सीव जिसमें हर चरण — बहुपदों को तैयार करना, छलनी चलाना, उम्मीदवारों की जाँच, आंशिक नतीजों का मिलान, मैट्रिक्स बनाना, उसे हल करना और आख़िरी वर्गमूल निकालना — GPU पर चलता है। सामान्य प्रोसेसर सिर्फ़ संचालन, तैयारी और इनपुट-आउटपुट संभालता है; लेखक होस्ट की ओर बचे कुछ क़दमों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करते हैं। 100 अंकों के एक परीक्षण में GPU छलनी के 99.9% समय व्यस्त रहा, प्रोसेसर का इंतज़ार करने के लिए कोई ठहराव नहीं।

पैमाना बढ़ाने पर एक बारीक़ बग सामने आया। RSA-155 के आकार पर छलनी के दौरान इस्तेमाल होने वाला 8-बिट का एक काउंटर ठीक सबसे क़ीमती उम्मीदवारों पर ओवरफ़्लो हो जाता था, और चुपचाप उनमें से 98 से 99.5% को फेंक देता था। टीम ने इसे एक संतृप्त (सैचुरेटिंग) काउंटर से बदल दिया, जिसके बारे में वे सिद्ध करते हैं कि वह बिल्कुल एक जैसे नतीजे देता है।

लगभग एक दिन में RSA-155

14 जुलाई 2026 को इस पाइपलाइन ने RSA-155 को 78-78 अंकों की दो अभाज्य संख्याओं में तोड़ दिया, जिन्हें GPU और होस्ट दोनों पर जाँचा गया:

• छलनी: 16 नोड्स पर 64 NVIDIA H100 GPU, 10.8 घंटे, लगभग 1.73 करोड़ संबंध (रिलेशन) इकट्ठा किए।
• रैखिक बीजगणित: एक अकेला H100, 10.9 घंटे, 1.67 करोड़ पंक्तियों और 68.4 करोड़ अशून्य प्रविष्टियों वाली मैट्रिक्स पर।
• कुल: 700.6 GPU-घंटे और 242 किलोवाट-घंटे, शुरुआत से गुणनखंडों तक लगभग 24 घंटे। लागत का 98.4% हिस्सा छलनी का था।

लेखकों की जानकारी में, यह क्वाड्रेटिक सीव से तोड़ा गया अब तक का सबसे बड़ा पूर्णांक है, पिछले रिकॉर्ड से पाँच अंक आगे — और यह विधि के सबसे सरल रूप से हासिल किया गया, जो हर संबंध में सिर्फ़ एक “बड़ा अभाज्य” रखता है, जबकि हाल के रिकॉर्डों में तीन इस्तेमाल हुए थे।

सबसे अच्छे प्रोसेसरों से तेज़

100 अंकों की संख्या पर एक अकेला H100 29.2 सेकंड में काम पूरा करता है, और उपभोक्ता-स्तर का RTX 5070 Ti 51 सेकंड में। उसी संख्या पर एक नियंत्रित तुलना में, जिसमें दोनों तरफ़ ऊर्जा मापी गई, एक H100 AMD EPYC प्रोसेसर के 96 कोर पर चलने वाली सबसे तेज़ CPU क्वाड्रेटिक सीव से 3.6 से 4.2 गुना तेज़ था, और एक और मानक पैकेज से लगभग नौ से दस गुना तेज़। उन्होंने RSA-150 को भी 302.9 GPU-घंटों में फिर से तोड़ा, जबकि पिछले रिकॉर्ड में 11,664 कोर-घंटे लगे थे — लेखक ज़ोर देते हैं कि यह अनुपात बराबरी की तुलना वाली गति-वृद्धि नहीं है।

कूटलेखन को कोई ख़तरा नहीं

लेखक साफ़ कहते हैं: RSA-155 पहले ही तोड़ी जा चुकी थी, यह गुणनखंडन का सामान्य रिकॉर्ड नहीं है, और “यहाँ कुछ भी सुरक्षा के अंतर को कम नहीं करता”। कोड को भी डिज़ाइन के तहत लगभग 155 अंकों तक सीमित रखा गया है। उनकी दिलचस्पी कहीं और है: यह दिखाना कि एक अनियमित, शाखाओं से भरा एल्गोरिद्म पूरी तरह GPU पर रह सकता है। वे नंबर फ़ील्ड सीव के केंद्र में स्थित GPU लैटिस सीवर को स्वाभाविक अगला लक्ष्य बताते हैं — एक ऐसा काम जो, वे कहते हैं, दूसरों ने तब से शुरू कर दिया है, एक मौजूदा पैकेज के GPU संस्करणों से RSA-260 और RSA-896 को तोड़कर, जिनमें से दूसरा Claude की मदद से किया गया।

हितों का टकराव। लेखक बताते हैं कि जनरेटिव AI और एजेंटिक कोडिंग टूल्स का इस्तेमाल हुआ: सॉफ़्टवेयर विकास के लिए Anthropic के Claude मॉडल (Claude Code के ज़रिए) के साथ OpenAI के GPT और Google के Gemini मॉडल, और डेटा व पांडुलिपि तैयार करने के लिए Claude मॉडल। वे कहते हैं कि AI के सारे आउटपुट की हाथ से समीक्षा और पुष्टि की गई। यह लेख भी Claude ने लिखा है।