ग्राफिक्स कार्डवर फोडलेली 155 अंकी संख्या

मोठ्या संख्येचे मूळ अवयव काढणे कठीण आहे, आणि ही अडचण कूटलेखनासाठी (cryptography) महत्त्वाची आहे — म्हणूनच आपला निकाल कशाला धोका पोहोचवत नाही हे शोधनिबंध काळजीपूर्वक सांगतो. सार्वजनिक “RSA आव्हान” संख्या अवयवीकरणाच्या पद्धतींसाठी मापदंड म्हणून वापरल्या जातात. RSA-155 त्यांपैकी एक आहे: 155 अंक, म्हणजे 512 बिट.

दोन चाळण्या, प्रत्येकीचा एकेक विक्रम

अल्गोरिदमच्या दोन कुळांचे वर्चस्व आहे. खूप मोठ्या संख्यांसाठी नंबर फील्ड सिव्ह (number field sieve) अजिंक्य आहे: त्याने 1999 मध्येच RSA-155 फोडले, आणि शोधनिबंधानुसार, सर्वसाधारण विक्रम आता 2026 मधील RSA-896 या 270 अंकी संख्येचा आहे. जुने क्वाड्रॅटिक सिव्ह (quadratic sieve) अनंतस्पर्शीदृष्ट्या (asymptotically) अधिक सावकाश आहे, आणि लेखकांच्याच शब्दांत, सर्वसाधारण विक्रमांसाठी “चुकीचे साधन” आहे. तरीही त्याची स्वतःची विक्रमांची यादी आहे: त्याने फोडलेली सर्वात मोठी संख्या म्हणजे जून 2025 मधील RSA-150, ज्यासाठी 11,664 CPU कोर-तास लागले.

क्वाड्रॅटिक सिव्ह अशा अनेक लहान संख्या शोधते ज्यांचे लहान मूळ संख्यांच्या एका संचावर पूर्ण अवयवीकरण होते, आणि मग रेषीय बीजगणित वापरून त्यांना एकत्र करून N मॉड्युलो समान असणारे दोन वर्ग x² आणि y² तयार करते. त्यानंतर महत्तम सामाईक विभाजक (GCD) एक अवयव उघड करतो. संगणकावर हे ग्राफिक्स प्रोसेसरसाठी (GPU) एक दुःस्वप्नच आहे: मेमरीतील प्रवेश कोणत्याही कॅशेच्या पलीकडे विखुरलेले असतात, चाचण्या फाट्यांनी (branches) भरलेल्या असतात, आणि शेवटचे बीजगणित अशा द्विमान अंकगणितात चालते ज्याला कोणत्याही विक्रेत्याचे ग्रंथालय आधार देत नाही. आधीच्या GPU प्रयत्नांनी फक्त स्वतंत्र पायऱ्यांनाच वेग दिला होता.

सगळे काही ग्राफिक्स कार्डवर

जर्मनीतील पाडरबॉर्न विद्यापीठाच्या गणित संस्थेचे फाबियान यानुशेव्स्की (Fabian Januszewski) आणि क्रिस्टॉफ हाइनरिक्स (Christoph Heinrichs) यांनी CUDA-MPQS हे मुक्त-स्रोत क्वाड्रॅटिक सिव्ह तयार केले, ज्यात प्रत्येक टप्पा — बहुपदी तयार करणे, चाळणी, उमेदवार तपासणे, अंशतः निकाल जुळवणे, मॅट्रिक्स बांधणे, ते सोडवणे आणि शेवटचे वर्गमूळ घेणे — GPU वर चालतो. साधा प्रोसेसर फक्त सूत्रसंचालन, मांडणी आणि इनपुट-आउटपुट हाताळतो; लेखक होस्टच्या बाजूला उरलेल्या मोजक्या पायऱ्या स्पष्टपणे नोंदवतात. 100 अंकी चाचणीत, चाळणीच्या 99.9% वेळ GPU व्यस्त होते, प्रोसेसरची वाट पाहत थांबणे कधीच नव्हते.

आकार वाढवल्यावर एक सूक्ष्म दोष उघड झाला. RSA-155 च्या आकारावर, चाळणीदरम्यान वापरलेला 8-बिट गणक नेमका सर्वात मौल्यवान उमेदवारांवरच ओसंडून वाहत होता (overflow), आणि त्यांपैकी 98 ते 99.5% शांतपणे टाकून देत होता. संघाने त्याऐवजी संपृक्त (saturating) गणक वापरला, जो सारखेच निकाल देतो हे त्यांनी सिद्ध केले.

सुमारे एका दिवसात RSA-155

14 जुलै 2026 रोजी, या प्रक्रियासाखळीने RSA-155 चे प्रत्येकी 78 अंकांच्या दोन मूळ संख्यांमध्ये अवयवीकरण केले, आणि दोन्ही GPU आणि होस्ट या दोन्हींवर तपासल्या:

• चाळणी: 16 नोड्सवरील 64 NVIDIA H100 GPU, 10.8 तास, सुमारे 1.73 कोटी संबंध (relations) गोळा केले.
• रेषीय बीजगणित: एकच H100, 10.9 तास, 1.67 कोटी ओळी आणि 68.4 कोटी शून्येतर नोंदी असलेल्या मॅट्रिक्सवर.
• एकूण: 700.6 GPU-तास आणि 242 किलोवॉट-तास, सुरुवातीपासून अवयव मिळेपर्यंत साधारण 24 तास. खर्चाच्या 98.4% भाग चाळणीचा होता.

लेखकांच्या माहितीनुसार, हा क्वाड्रॅटिक सिव्हने आजवर अवयवीकरण झालेला सर्वात मोठा पूर्णांक आहे, आधीच्या विक्रमापेक्षा पाच अंकांनी मोठा — आणि तोही या पद्धतीच्या सर्वात साध्या प्रकाराने साधलेला, जो प्रत्येक संबंधात फक्त एकच “मोठी मूळ संख्या” ठेवतो, तर अलीकडच्या विक्रमांनी तीन वापरल्या होत्या.

सर्वोत्तम प्रोसेसरपेक्षा वेगवान

100 अंकी संख्येसाठी, एकच H100 29.2 सेकंदांत काम संपवतो, आणि ग्राहकांसाठीचा RTX 5070 Ti 51 सेकंदांत. त्याच संख्येवर, दोन्ही बाजूंची ऊर्जा मोजून केलेल्या नियंत्रित तुलनेत, एक H100 हा AMD EPYC प्रोसेसरच्या 96 कोअरवर चालणाऱ्या सर्वात वेगवान CPU क्वाड्रॅटिक सिव्हपेक्षा 3.6 ते 4.2 पट वेगवान होता, आणि आणखी एका प्रमाणित पॅकेजपेक्षा सुमारे नऊ ते दहा पट वेगवान. त्यांनी RSA-150 चेही 302.9 GPU-तासांत पुन्हा अवयवीकरण केले, आधीच्या विक्रमाच्या 11,664 कोर-तासांच्या तुलनेत — मात्र हे गुणोत्तर समान परिस्थितीतील वेगवाढ नाही, यावर लेखक भर देतात.

कूटलेखनाला कोणताही धोका नाही

लेखक स्पष्ट सांगतात: RSA-155 चे आधीच अवयवीकरण झाले होते, हा सर्वसाधारण अवयवीकरणाचा विक्रम नाही, आणि “इथे कोणतीही सुरक्षा-मर्यादा संकुचित होत नाही”. रचनेनुसारच हा कोड सुमारे 155 अंकांपर्यंत मर्यादित आहे. त्यांचा रस इतरत्र आहे: अनियमित, फाट्यांनी भरलेला अल्गोरिदमही पूर्णपणे GPU वर राहू शकतो हे दाखवणे. पुढचे स्वाभाविक लक्ष्य म्हणून ते नंबर फील्ड सिव्हच्या गाभ्यातील GPU लॅटिस सिव्हरकडे बोट दाखवतात — आणि ते नमूद करतात की इतरांनी हे काम तेव्हापासून सुरूही केले आहे: एका विद्यमान पॅकेजच्या GPU रूपांतरांनी RSA-260 आणि RSA-896 फोडले, त्यांपैकी दुसरे Claude वापरून केले गेले.

हितसंबंधांचा संघर्ष. लेखक नमूद करतात की जनरेटिव्ह AI आणि एजंटिक कोडिंग साधने वापरली गेली: सॉफ्टवेअर विकासासाठी Anthropic चे Claude मॉडेल (Claude Code मार्फत) तसेच OpenAI चे GPT आणि Google चे Gemini मॉडेल, आणि डेटा व हस्तलिखित तयार करण्यासाठी Claude मॉडेल. सर्व AI निर्मिती हाताने तपासली आणि पडताळली गेली, असे ते सांगतात. हा लेखही Claude ने लिहिला आहे.