MỘT SỐ 155 CHỮ SỐ ĐƯỢC PHÂN TÍCH TRÊN CARD ĐỒ HỌA

Phân tích một số lớn thành các thừa số nguyên tố là việc khó, và cái khó đó quan trọng với mật mã học — vì vậy bài báo cẩn thận nói rõ kết quả của mình không đe dọa điều gì. Các con số “thử thách RSA” công khai được dùng làm thước đo cho các phương pháp phân tích thừa số. RSA-155 là một trong số đó: 155 chữ số, tức 512 bit.

Hai cái sàng, mỗi cái một kỷ lục

Có hai họ thuật toán chiếm ưu thế. Sàng trường số (number field sieve) là nhà vô địch với những số rất lớn: nó đã phá RSA-155 từ năm 1999, và theo bài báo, kỷ lục chung hiện nay là một số 270 chữ số, RSA-896, vào năm 2026. Sàng bậc hai (quadratic sieve), lâu đời hơn, chậm hơn về mặt tiệm cận và, theo chính lời các tác giả, là “công cụ sai” cho các kỷ lục chung. Tuy vậy, nó có danh sách kỷ lục riêng: số lớn nhất từng bị phân tích bằng nó là RSA-150, vào tháng 6 năm 2025, tốn 11.664 giờ-lõi CPU.

Sàng bậc hai săn tìm thật nhiều số nhỏ phân tích được hoàn toàn trên một tập các số nguyên tố nhỏ, rồi dùng đại số tuyến tính kết hợp chúng thành hai số chính phương x² và y² bằng nhau theo modulo N. Sau đó một phép tìm ước chung lớn nhất sẽ lộ ra một thừa số. Trên máy tính, đây là cơn ác mộng đối với bộ xử lý đồ họa (GPU): các lượt truy cập bộ nhớ tản mát vượt xa mọi bộ nhớ đệm, các phép kiểm tra đầy rẫy rẽ nhánh, và phần đại số cuối cùng hoạt động trong một số học nhị phân mà không thư viện nào của nhà sản xuất hỗ trợ. Những nỗ lực GPU trước đây chỉ tăng tốc được từng bước riêng lẻ.

Mọi thứ trên card đồ họa

Fabian Januszewski và Christoph Heinrichs, thuộc viện toán học của Đại học Paderborn ở Đức, đã xây dựng CUDA-MPQS, một sàng bậc hai mã nguồn mở trong đó mọi giai đoạn — chuẩn bị các đa thức, sàng, kiểm tra ứng viên, ghép các kết quả từng phần, dựng ma trận, giải nó và lấy căn bậc hai cuối cùng — đều chạy trên GPU. Bộ xử lý thông thường chỉ điều phối, thiết lập và xử lý đầu vào, đầu ra; các tác giả liệt kê rõ vài bước ít ỏi còn lại phía máy chủ. Trong một phép thử 100 chữ số, GPU bận rộn 99,9% thời gian sàng, không hề dừng lại chờ bộ xử lý.

Việc mở rộng quy mô làm lộ ra một lỗi tinh vi. Ở kích thước của RSA-155, một bộ đếm 8 bit dùng trong lúc sàng bị tràn đúng ở những ứng viên giá trị nhất, âm thầm loại bỏ 98 đến 99,5% trong số đó. Nhóm thay nó bằng một bộ đếm bão hòa mà họ chứng minh cho kết quả y hệt.

RSA-155 trong khoảng một ngày

Ngày 14 tháng 7 năm 2026, chuỗi xử lý đã tách RSA-155 thành hai số nguyên tố, mỗi số 78 chữ số, được kiểm tra cả trên GPU lẫn trên máy chủ:

• Sàng: 64 GPU NVIDIA H100 trên 16 nút, 10,8 giờ, thu thập khoảng 17,3 triệu quan hệ.
• Đại số tuyến tính: một H100 duy nhất trong 10,9 giờ, trên một ma trận 16,7 triệu hàng với 684 triệu phần tử khác không.
• Tổng cộng: 700,6 giờ GPU và 242 kilowatt giờ, khoảng 24 giờ từ lúc bắt đầu đến khi có thừa số. Sàng chiếm 98,4% chi phí.

Theo hiểu biết của các tác giả, đây là số nguyên lớn nhất từng được phân tích bằng sàng bậc hai, hơn kỷ lục trước năm chữ số — và đạt được bằng biến thể đơn giản nhất của phương pháp, chỉ giữ một “số nguyên tố lớn” cho mỗi quan hệ trong khi các kỷ lục gần đây dùng ba.

Nhanh hơn những bộ xử lý tốt nhất

Với một số 100 chữ số, một H100 hoàn thành trong 29,2 giây, còn một RTX 5070 Ti dành cho người tiêu dùng mất 51 giây. Trong một phép so sánh có kiểm soát trên cùng một số, với năng lượng được đo ở cả hai bên, một H100 nhanh hơn 3,6 đến 4,2 lần so với sàng bậc hai trên CPU nhanh nhất chạy trên 96 lõi của bộ xử lý AMD EPYC, và nhanh hơn khoảng chín đến mười lần so với một gói phần mềm tiêu chuẩn khác. Họ cũng phân tích lại RSA-150 trong 302,9 giờ GPU, so với 11.664 giờ-lõi của kỷ lục trước — một tỉ lệ mà các tác giả nhấn mạnh không phải là mức tăng tốc so sánh ngang bằng.

Không đe dọa mã hóa

Các tác giả nói rõ: RSA-155 đã được phân tích từ trước, đây không phải kỷ lục phân tích thừa số chung, và “không có gì ở đây làm hẹp biên an toàn”. Mã nguồn cũng được giới hạn có chủ đích ở khoảng 155 chữ số. Mối quan tâm của họ nằm ở chỗ khác: chứng tỏ rằng một thuật toán bất quy tắc, nhiều rẽ nhánh có thể sống hoàn toàn trên GPU. Họ chỉ ra bộ sàng lưới trên GPU nằm ở trung tâm của sàng trường số là mục tiêu tự nhiên tiếp theo — công việc mà, họ lưu ý, những người khác đã bắt đầu kể từ đó, phân tích RSA-260 và RSA-896 bằng các bản chuyển sang GPU của một gói phần mềm có sẵn, bản sau được làm với Claude.

Xung đột lợi ích. Các tác giả cho biết đã sử dụng AI tạo sinh và các công cụ lập trình dạng tác tử: các mô hình Claude của Anthropic (qua Claude Code) cùng các mô hình GPT của OpenAI và Gemini của Google để phát triển phần mềm, và các mô hình Claude để chuẩn bị dữ liệu và bản thảo. Họ cho biết mọi kết quả do AI tạo ra đều được rà soát và kiểm chứng thủ công. Claude cũng là tác giả của bài viết này.