கிராஃபிக்ஸ் அட்டைகளில் பிரிக்கப்பட்ட 155 இலக்க எண்

ஒரு பெரிய எண்ணை அதன் பகா காரணிகளாகப் பிரிப்பது கடினம்; அந்தக் கடினம் மறையாக்கவியலுக்கு (cryptography) முக்கியமானது — அதனால்தான் தன் முடிவு எதை அச்சுறுத்தவில்லை என்பதைக் கட்டுரை கவனமாகக் கூறுகிறது. பொது “RSA சவால்” எண்கள், காரணிப்படுத்தல் முறைகளுக்கான அளவுகோல்களாகப் பயன்படுகின்றன. RSA-155 அவற்றில் ஒன்று: 155 இலக்கங்கள், அதாவது 512 பிட்கள்.

இரண்டு சல்லடைகள், ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு சாதனை

இரண்டு வழிமுறைக் குடும்பங்கள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றன. மிகப் பெரிய எண்களுக்கு எண்புலச் சல்லடை முதன்மையானது: அது 1999இலேயே RSA-155-ஐப் பிரித்தது; கட்டுரையின்படி, பொதுச் சாதனை இப்போது 2026இல் 270 இலக்க எண்ணான RSA-896-இல் உள்ளது. பழைய இருபடிச் சல்லடை அணுகுமுறையில் (asymptotically) மெதுவானது; ஆசிரியர்களின் வார்த்தைகளில், பொதுச் சாதனைகளுக்கு அது “தவறான கருவி”. இருந்தாலும் அதற்கெனத் தனிச் சாதனைப் பட்டியல் உண்டு: அதைக் கொண்டு பிரிக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய எண் RSA-150, 2025 ஜூனில், 11,664 CPU உள்ளக-மணிநேரங்களைப் பயன்படுத்தி.

இருபடிச் சல்லடை, சிறிய பகா எண்களின் ஒரு தொகுப்பின் மீது முழுமையாகக் காரணிப்படும் பல சிறிய எண்களைத் தேடுகிறது; பின்னர் நேரியல் இயற்கணிதத்தைக் (linear algebra) கொண்டு அவற்றை இணைத்து, N மட்டுவில் (modulo N) சமமான x², y² என்ற இரண்டு வர்க்கங்களை உருவாக்குகிறது. பின்னர் ஒரு மீப்பெரு பொது வகுத்தி (greatest common divisor) ஒரு காரணியை வெளிப்படுத்துகிறது. கணினியில், இது கிராஃபிக்ஸ் செயலிகளுக்கு (GPU) ஒரு கொடுங்கனவு: நினைவக அணுகல்கள் எந்தத் தற்காலிக நினைவகத்தையும் (cache) தாண்டிச் சிதறுகின்றன, சோதனைகள் கிளைகளால் (branches) நிறைந்துள்ளன, இறுதி இயற்கணிதம் எந்த நிறுவன நூலகமும் ஆதரிக்காத ஓர் இரும எண்கணிதத்தில் இயங்குகிறது. முந்தைய GPU முயற்சிகள் தனித்தனிப் படிகளை மட்டுமே விரைவுபடுத்தின.

அனைத்தும் கிராஃபிக்ஸ் அட்டையில்

ஜெர்மனியின் பாடர்போர்ன் பல்கலைக்கழகக் கணித நிறுவனத்தைச் சேர்ந்த ஃபாபியான் யானுஷெவ்ஸ்கி (Fabian Januszewski), கிறிஸ்டோஃப் ஹைன்ரிக்ஸ் (Christoph Heinrichs) ஆகியோர் CUDA-MPQS என்ற திறந்த மூல இருபடிச் சல்லடையை உருவாக்கினர்; அதில் ஒவ்வொரு கட்டமும் — பல்லுறுப்புக் கோவைகளைத் தயாரித்தல், சலித்தல், வேட்பாளர்களைச் சரிபார்த்தல், பகுதி முடிவுகளைப் பொருத்துதல், அணியை (matrix) உருவாக்குதல், அதைத் தீர்த்தல், இறுதி வர்க்கமூலத்தை எடுத்தல் — GPU-இல் இயங்குகிறது. சாதாரணச் செயலி ஒருங்கிணைப்பு, அமைப்பு, உள்ளீடு–வெளியீடு ஆகியவற்றை மட்டுமே கவனிக்கிறது; புரவலர் (host) பக்கம் எஞ்சியுள்ள சில படிகளை ஆசிரியர்கள் வெளிப்படையாகப் பட்டியலிடுகின்றனர். 100 இலக்கச் சோதனையில், சலிக்கும் நேரத்தின் 99.9% GPU பணியில் இருந்தது; செயலிக்காகக் காத்திருக்க அது ஒருபோதும் நிற்கவில்லை.

அளவைப் பெரிதாக்கியபோது ஒரு நுட்பமான பிழை வெளிப்பட்டது. RSA-155 அளவில், சலிக்கும்போது பயன்படுத்தப்பட்ட 8 பிட் எண்ணி (counter), மிக மதிப்புமிக்க வேட்பாளர்களிலேயே வழிந்து (overflow), அவற்றில் 98 முதல் 99.5% வரை அமைதியாக நிராகரித்தது. அதற்குப் பதிலாக, ஒத்த முடிவுகளையே தருவதாக அவர்கள் நிரூபிக்கும் ஒரு நிறைவுறும் (saturating) எண்ணியைக் குழு பொருத்தியது.

சுமார் ஒரு நாளில் RSA-155

2026 ஜூலை 14 அன்று, இந்தச் செயல்முறை RSA-155-ஐ தலா 78 இலக்கங்கள் கொண்ட இரண்டு பகா எண்களாகப் பிரித்தது; இரண்டும் GPU-இலும் புரவலரிலும் சரிபார்க்கப்பட்டன:

• சலித்தல்: 16 கணுக்களில் 64 NVIDIA H100 GPU-கள், 10.8 மணி நேரம், சுமார் 1.73 கோடி (17.3 மில்லியன்) தொடர்புகளைச் (relations) சேகரித்தன.
• நேரியல் இயற்கணிதம்: 1.67 கோடி வரிசைகளும் 68.4 கோடி பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளும் கொண்ட அணியில், ஒரே ஒரு H100, 10.9 மணி நேரம்.
• மொத்தம்: 700.6 GPU-மணிநேரம், 242 கிலோவாட்-மணிநேரம், தொடக்கம் முதல் காரணிகள் வரை தோராயமாக 24 மணி நேரம். செலவில் 98.4% சலித்தலுக்கே.

ஆசிரியர்கள் அறிந்தவரை, இதுவே இருபடிச் சல்லடையால் இதுவரை காரணிப்படுத்தப்பட்ட மிகப்பெரிய முழு எண், முந்தைய சாதனையை விட ஐந்து இலக்கங்கள் அதிகம் — சமீபத்திய சாதனைகள் ஒரு தொடர்புக்கு மூன்று “பெரிய பகா எண்களை” பயன்படுத்திய நிலையில், ஒன்றை மட்டுமே வைத்துக்கொள்ளும் இந்த முறையின் எளிய வடிவத்தைக் கொண்டே இது அடையப்பட்டது.

சிறந்த செயலிகளை விட வேகமானது

100 இலக்க எண்ணில், ஒரே ஒரு H100 29.2 வினாடிகளிலும், நுகர்வோர் பயன்பாட்டு RTX 5070 Ti 51 வினாடிகளிலும் முடிக்கின்றன. அதே எண்ணில், இருபுறமும் ஆற்றல் அளக்கப்பட்ட கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒப்பீட்டில், ஒரு AMD EPYC செயலியின் 96 உள்ளகங்களில் இயங்கும் மிக வேகமான CPU இருபடிச் சல்லடையை விட ஒரு H100 3.6 முதல் 4.2 மடங்கு வேகமாகவும், மற்றொரு நிலையான தொகுப்பை விடச் சுமார் ஒன்பது முதல் பத்து மடங்கு வேகமாகவும் இருந்தது. முந்தைய சாதனையின் 11,664 உள்ளக-மணிநேரங்களுக்கு எதிராக, RSA-150-ஐயும் அவர்கள் 302.9 GPU-மணிநேரத்தில் மீண்டும் காரணிப்படுத்தினர் — இது நேரடி ஒப்பீட்டு வேகமேற்றம் அல்ல என்று ஆசிரியர்கள் வலியுறுத்துகின்றனர்.

மறையாக்கத்துக்கு அச்சுறுத்தல் இல்லை

ஆசிரியர்கள் தெளிவாகக் கூறுகின்றனர்: RSA-155 ஏற்கனவே காரணிப்படுத்தப்பட்டது, இது பொதுக் காரணிப்படுத்தல் சாதனை அல்ல, “இங்கே எதுவும் பாதுகாப்பு விளிம்பைக் குறைக்கவில்லை”. குறியீடும் வடிவமைப்பிலேயே சுமார் 155 இலக்கங்களுக்குள் கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அவர்களின் ஆர்வம் வேறிடத்தில் உள்ளது: ஒழுங்கற்ற, கிளைகள் நிறைந்த ஒரு வழிமுறை முழுமையாக ஒரு GPU-இல் வாழ முடியும் என்று காட்டுவது. எண்புலச் சல்லடையின் மையத்தில் உள்ள GPU லேட்டிஸ் சல்லடையை (lattice siever) அடுத்த இயல்பான இலக்காக அவர்கள் சுட்டுகின்றனர் — அவர்கள் குறிப்பிடுவது போல, பிறர் அதன்பின் அந்தப் பணியைத் தொடங்கி, ஏற்கனவே உள்ள ஒரு தொகுப்பின் GPU வடிவங்களைக் கொண்டு RSA-260, RSA-896 ஆகியவற்றைக் காரணிப்படுத்தியுள்ளனர்; பின்னது Claude-ஐக் கொண்டு செய்யப்பட்டது.

நலன் முரண்பாடு. உருவாக்கும் AI (generative AI), முகவர் நிரலாக்கக் கருவிகள் பயன்படுத்தப்பட்டதாக ஆசிரியர்கள் தெரிவிக்கின்றனர்: மென்பொருள் உருவாக்கத்துக்கு Anthropic-இன் Claude மாதிரிகள் (Claude Code வழியாக), OpenAI-இன் GPT, Google-இன் Gemini மாதிரிகளுடன்; தரவு மற்றும் கையெழுத்துப்படி தயாரிப்புக்கு Claude மாதிரிகள். AI-இன் அனைத்து வெளியீடுகளும் கைமுறையாக மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்டுச் சரிபார்க்கப்பட்டதாக அவர்கள் கூறுகின்றனர். இந்தக் கட்டுரையையும் Claude-தான் எழுதியது.