గ్రాఫిక్స్ కార్డులపై విడగొట్టిన 155 అంకెల సంఖ్య

ఒక పెద్ద సంఖ్యను దాని ప్రధాన కారణాంకాలుగా విడగొట్టడం కష్టం, ఆ కష్టమే గూఢలిపి శాస్త్రానికి (cryptography) ముఖ్యం — అందుకే తన ఫలితం దేనికి ముప్పు కాదో పత్రం జాగ్రత్తగా చెబుతుంది. పబ్లిక్ “RSA ఛాలెంజ్” సంఖ్యలు కారణాంకీకరణ పద్ధతులకు ప్రమాణాలుగా పనిచేస్తాయి. RSA-155 వాటిలో ఒకటి: 155 అంకెలు, అంటే 512 బిట్లు.

రెండు జల్లెడలు, ఒక్కోదానికి ఒక్కో రికార్డు

రెండు అల్గారిథమ్ కుటుంబాలు ఆధిపత్యం చెలాయిస్తున్నాయి. చాలా పెద్ద సంఖ్యలకు నంబర్ ఫీల్డ్ సీవ్ (number field sieve) ఛాంపియన్: అది 1999లోనే RSA-155ను విడగొట్టింది, పత్రం ప్రకారం సాధారణ రికార్డు ఇప్పుడు 2026లో 270 అంకెల సంఖ్య RSA-896. పాతదైన క్వాడ్రాటిక్ సీవ్ (quadratic sieve) అనంతస్పర్శీయంగా (asymptotically) నెమ్మదైనది, రచయితల మాటల్లోనే సాధారణ రికార్డులకు “తప్పుడు సాధనం”. అయినా దానికి సొంత రికార్డుల జాబితా ఉంది: దానితో విడగొట్టిన అతిపెద్ద సంఖ్య 2025 జూన్‌లో RSA-150, దానికి 11,664 CPU కోర్-గంటలు పట్టాయి.

క్వాడ్రాటిక్ సీవ్, చిన్న ప్రధాన సంఖ్యల సమితిపై పూర్తిగా కారణాంకీకరణ అయ్యే అనేక చిన్న సంఖ్యల కోసం వేటాడుతుంది, ఆ తర్వాత రేఖీయ బీజగణితంతో వాటిని కలిపి N మాడ్యులోలో సమానమైన x², y² అనే రెండు వర్గాలను తయారుచేస్తుంది. అప్పుడు గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (GCD) ఒక కారణాంకాన్ని బయటపెడుతుంది. కంప్యూటర్‌లో, ఇది గ్రాఫిక్స్ ప్రాసెసర్లకు (GPUలు) ఒక పీడకల: మెమరీ యాక్సెస్‌లు ఏ క్యాష్‌కూ అందనంతగా చెల్లాచెదురవుతాయి, పరీక్షలు శాఖలతో (branches) నిండి ఉంటాయి, చివరి బీజగణితం ఏ తయారీదారు లైబ్రరీ కూడా సపోర్ట్ చేయని బైనరీ అంకగణితంలో పనిచేస్తుంది. ఇంతకుముందు GPU ప్రయత్నాలు వ్యక్తిగత అడుగులను మాత్రమే వేగవంతం చేశాయి.

అంతా గ్రాఫిక్స్ కార్డుపైనే

జర్మనీలోని పాడర్‌బోర్న్ విశ్వవిద్యాలయ గణిత సంస్థకు చెందిన ఫాబియన్ యనుషెవ్‌స్కీ (Fabian Januszewski), క్రిస్టోఫ్ హైన్‌రిక్స్ (Christoph Heinrichs) CUDA-MPQS అనే ఓపెన్ సోర్స్ క్వాడ్రాటిక్ సీవ్‌ను నిర్మించారు, ఇందులో ప్రతి దశ — బహుపదులను సిద్ధం చేయడం, జల్లెడ పట్టడం, అభ్యర్థులను తనిఖీ చేయడం, పాక్షిక ఫలితాలను జతచేయడం, మాత్రికను నిర్మించడం, దాన్ని పరిష్కరించడం, చివరి వర్గమూలం తీయడం — GPUపై నడుస్తుంది. సాధారణ ప్రాసెసర్ కేవలం సమన్వయం, ఏర్పాటు, ఇన్‌పుట్-అవుట్‌పుట్ మాత్రమే చూసుకుంటుంది; హోస్ట్ వైపు మిగిలిన కొన్ని అడుగులను రచయితలు స్పష్టంగా జాబితా చేశారు. 100 అంకెల పరీక్షలో, జల్లెడ సమయంలో 99.9% GPU పనిలోనే ఉంది, ప్రాసెసర్ కోసం ఆగాల్సిన పనే లేదు.

స్థాయిని పెంచినప్పుడు ఒక సూక్ష్మమైన బగ్ బయటపడింది. RSA-155 పరిమాణంలో, జల్లెడ సమయంలో వాడిన 8-బిట్ కౌంటర్ సరిగ్గా అత్యంత విలువైన అభ్యర్థుల దగ్గరే పొంగిపోయి (overflow), వాటిలో 98 నుంచి 99.5% వరకు నిశ్శబ్దంగా విసిరేసింది. బృందం దాని స్థానంలో సంతృప్త (saturating) కౌంటర్‌ను పెట్టింది, అది అవే ఫలితాలను ఇస్తుందని నిరూపించింది.

సుమారు ఒక రోజులో RSA-155

2026 జూలై 14న, ఈ పైప్‌లైన్ RSA-155ను ఒక్కొక్కటి 78 అంకెల రెండు ప్రధాన సంఖ్యలుగా విడగొట్టింది, రెండింటినీ GPU పైనా హోస్ట్ పైనా తనిఖీ చేసింది:

• జల్లెడ: 16 నోడ్లలో 64 NVIDIA H100 GPUలు, 10.8 గంటలు, సుమారు 1.73 కోట్ల సంబంధాలను (relations) సేకరించాయి.
• రేఖీయ బీజగణితం: ఒక్క H100, 10.9 గంటలు, 1.67 కోట్ల వరుసలు, 68.4 కోట్ల సున్నా కాని ఎంట్రీలున్న మాత్రికపై.
• మొత్తం: 700.6 GPU-గంటలు, 242 కిలోవాట్-గంటలు, మొదలు నుంచి కారణాంకాల వరకు సుమారు 24 గంటలు. ఖర్చులో 98.4% జల్లెడదే.

రచయితలకు తెలిసినంత వరకు, ఇది క్వాడ్రాటిక్ సీవ్‌తో ఇప్పటివరకు కారణాంకీకరించిన అతిపెద్ద పూర్ణసంఖ్య, మునుపటి రికార్డు కంటే ఐదు అంకెలు ఎక్కువ — అదీ ఈ పద్ధతిలోని అత్యంత సరళమైన రూపంతో సాధించినది; ఇటీవలి రికార్డులు ఒక్కో సంబంధానికి మూడు “పెద్ద ప్రధాన సంఖ్యలను” వాడగా, ఇది ఒక్కదాన్నే ఉంచుతుంది.

అత్యుత్తమ ప్రాసెసర్ల కంటే వేగంగా

100 అంకెల సంఖ్యకు, ఒక్క H100 29.2 సెకన్లలో ముగిస్తుంది, వినియోగదారుల RTX 5070 Ti 51 సెకన్లలో. అదే సంఖ్యపై, రెండు వైపులా శక్తిని కొలుస్తూ చేసిన నియంత్రిత పోలికలో, ఒక H100, AMD EPYC ప్రాసెసర్‌లోని 96 కోర్లపై నడిచే అత్యంత వేగవంతమైన CPU క్వాడ్రాటిక్ సీవ్ కంటే 3.6 నుంచి 4.2 రెట్లు వేగంగా ఉంది, మరో ప్రామాణిక ప్యాకేజీ కంటే సుమారు తొమ్మిది నుంచి పది రెట్లు వేగంగా. వారు RSA-150ను కూడా 302.9 GPU-గంటల్లో తిరిగి కారణాంకీకరించారు, మునుపటి రికార్డు 11,664 కోర్-గంటలు — అయితే ఈ నిష్పత్తి సమాన పరిస్థితుల్లోని వేగవృద్ధి కాదని రచయితలు నొక్కిచెబుతున్నారు.

ఎన్‌క్రిప్షన్‌కు ముప్పు లేదు

రచయితలు స్పష్టంగా చెబుతున్నారు: RSA-155ను ఇప్పటికే కారణాంకీకరించారు, ఇది సాధారణ కారణాంకీకరణ రికార్డు కాదు, “ఇక్కడ ఏదీ భద్రతా అంచును కుదించదు”. రూపకల్పనలోనే కోడ్‌ను సుమారు 155 అంకెలకు పరిమితం చేశారు. వారి ఆసక్తి వేరే చోట ఉంది: క్రమరహితమైన, శాఖలతో నిండిన అల్గారిథమ్ కూడా పూర్తిగా GPUపైనే జీవించగలదని చూపడం. తదుపరి సహజ లక్ష్యంగా వారు నంబర్ ఫీల్డ్ సీవ్ గుండెకాయ అయిన GPU లాటిస్ సీవర్‌ను చూపుతున్నారు — ఆ పనిని అప్పటి నుంచి ఇతరులు ప్రారంభించారని, ఉన్న ఒక ప్యాకేజీ GPU రూపాంతరాలతో RSA-260, RSA-896లను కారణాంకీకరించారని, వాటిలో రెండోది Claudeతో చేశారని వారు గుర్తుచేస్తున్నారు.

ప్రయోజనాల సంఘర్షణ. జనరేటివ్ AI, ఏజెంటిక్ కోడింగ్ సాధనాలను వాడినట్టు రచయితలు పేర్కొన్నారు: సాఫ్ట్‌వేర్ అభివృద్ధికి Anthropic Claude మోడళ్లు (Claude Code ద్వారా), వాటితో పాటు OpenAI GPT, Google Gemini మోడళ్లు; డేటా, వ్రాతప్రతి సిద్ధం చేయడానికి Claude మోడళ్లు. AI ఇచ్చినదంతా చేతితో సమీక్షించి ధ్రువీకరించామని వారు చెబుతున్నారు. ఈ వ్యాసాన్ని కూడా Claude రాసింది.