H₂中的化学键，精确到175千赫兹
氢分子H₂——两个质子、两个电子——是最简单的中性分子。一个多世纪以来，它的两个数值一直是检验理论的基准：电离能，即拉走一个电子所需的能量；以及解离能，即把它拆成两个氢原子所需的能量。苏黎世联邦理工学院、阿姆斯特丹自由大学和巴黎-萨克雷大学的Ioana Doran、Frédéric Merkt、Kjeld Eikema及另外17位同事，如今给出了这两个数值，不确定度相当于175千赫兹。
玻尔的数值，朗缪尔的数值
1913年，玻尔把他的氢原子模型加以推广，计算了解离能。他得到约21000 cm⁻¹（这一单位将在下文解释），并且对这个结果深信不疑，以至于怀疑朗缪尔用“间接方法”得到的约46000的实验值。真相介于两者之间：一个世纪前，化学测量已收敛到36750附近，不确定度约为5%到10%。此后，光谱学和理论计算轮流领先；到1995年，沃尔涅维奇（Wolniewicz）算出了前八位有效数字：36118.069。
以赫兹计量的能量
为什么用千赫兹来表示能量？因为实验者测量的是频率：即让分子从一个能级跃迁到另一个能级的激光或毫米波的频率。每个能级差都对应一个频率，因此论文把能量表示为频率——说“电离频率”和说电离能一样自然。另一个单位是以cm⁻¹表示的波数，它等于频率除以光速：即每厘米所含光波的数目。论文把两种单位并列给出，由此确定了换算比例：1 cm⁻¹约等于29.98吉赫兹。
H₂的解离能为36118.069 6646 cm⁻¹，即1082792488.30兆赫兹——约为一千万亿赫兹。作者写道，对电离能而言，175 kHz相当于千亿分之五；对解离能而言，约为百亿分之一点六——好比测量1000公里时误差不超过0.16毫米。
绕道经过离子
如果正面测量，解离能很难捕捉：在分子开始断裂的地方，信号只会缓慢上升。因此要绕个弯。先从H₂上拉走一个电子（其电离能Eᵢ），再把得到的离子H₂⁺拆成一个质子和一个氢原子，然后把电子还给质子，这一步会释放出氢原子的电离能。两条路线起点相同、终点相同，因此它们的能量相互平衡：
D₀(H₂) + Eᵢ(H) = Eᵢ(H₂) + D₀(H₂⁺)
其中D₀表示解离能。氢原子和H₂⁺离子都只有一个电子，它们的能量分别已知到6 kHz和18 kHz以内。因此一切都取决于H₂的电离能：在那里获得的任何精度，都会直接传递给D₀(H₂)。
三个步骤，两座城市
在阿姆斯特丹，两个波长为201.7纳米的深紫外光子把分子从基态激发到一个称为EF的激发态。这一跃迁的频率是用拉姆齐梳光谱测得的：来自光学频率梳（一种发射等间隔脉冲序列的激光器）的成对脉冲两次激发分子，两次激发相互干涉。结果为2972885517077 kHz，误差在31 kHz以内——比之前精确一百多倍。
在苏黎世，一台紫外激光器把分子从EF态送到里德伯态，在这种状态下，有一个电子在很远的轨道上运行，几乎没有被束缚。随后，频率从110到430 GHz的毫米波，把这些态与两个参考里德伯态联系起来；这两个参考态的结合能（仍然束缚着电子的能量）分别约为48和28 cm⁻¹，此前的工作已将其测定到21和30 kHz以内。把这些步骤按八种组合相加，得到的电离能比之前的数值精确五倍。
H₂基态（下方曲线）和EF态（中间）以及H₂⁺离子（上方）的能级，单位为千cm⁻¹。紫色、蓝色和橙色箭头分别代表所测的三类步骤：深紫外、紫外和毫米波。粉色箭头为电离能；右侧的循环把它转换为解离能。——图1，Doran等（2026），arXiv:2610.40359。
为什么选用较少见的那种氢
根据两个质子的自旋如何组合，H₂有两种形态：总自旋为0的是仲氢，为1的是正氢。此前最好的测定用的是正氢，而正氢的EF态会分裂成间距很小的子能级——即超精细结构——这些子能级无法分辨，带来了超过200 kHz的系统误差。仲氢没有这种结构，但它是少数：在冷分子束中只占25%，正氢则占75%。而且仲氢的里德伯态受到的扰动太大，无法精确外推到电离极限——因此才要借道毫米波。
比理论更精确
随后，团队把这一合作多年来测得的45个能量间隔放在一起进行拟合。得到的电离能为124417.491 1573 cm⁻¹；两种能量的精度都在约175 kHz以内。最好的理论计算不确定度为780 kHz。两者相符，但仲氢和正氢的两个新值都靠近理论误差棒的上边缘。
H₂解离能的测量值减去最佳计算值（设为零），单位为MHz：粉色为仲氢，蓝色为正氢，较早的测量值位于下方。虚线标出计算的不确定度。——图12，Doran等（2026），arXiv:2610.40359。
理论计算会加入量子电动力学（关于光与电荷的量子理论）的修正，按精细结构常数α的幂次逐阶计算。迄今为止，对H₂来说，算到α⁶阶就足以与实验相符；最好的计算已经包含了α⁷阶的主导项，而作者认为，完整计算其解离能的α⁷阶修正“非常有必要”。在氦——另一个被计算得如此精细的双电子体系——中，对于一个长寿命激发态的电离能，理论与实验相差450 kHz，是两者合并不确定度的九倍，原因至今不明。在175 kHz的精度下，一旦α⁷阶修正被算出，H₂就能检验双电子体系的理论是否遗漏了什么。
为新物理设定上限
两种形态还提供了另一项检验。它们电离能之差为60.253 146 cm⁻¹，应当等于理论计算出的一个转动能之差：60.253 137 6 cm⁻¹。两者相符。因此，任何来自标准模型之外——即公认的粒子理论之外——的物理效应，如果会通过两种形态不同的核自旋把它们区分开来，其贡献就必须低于540 kHz（在一个标准差的水平上），这一上限比之前收紧了三倍。
从20世纪10年代的最早研究算起，作者统计这一个数值的精度已提高了约九个数量级。如今实验走在了前面；下一次比较，要等待α⁷阶的完整计算。