537 عددًا، ستة ألوان، ولا مجاميع

إليك أحجية يستطيع طفل أن يفهمها. خذ الأعداد 1، 2، 3، وهكذا. أعطِ كلًّا منها لونًا. القاعدة الوحيدة: داخل اللون الواحد، لا يجوز أبدًا أن تجد عددين مع مجموعهما. ويمكن أن يكون العددان متساويين أيضًا، فإذا كان 2 أحمر، فلا يمكن أن يكون 4 أحمر، لأن 2 + 2 = 4.

تُسمى المجموعة التي تخلو من مثل هذه الثلاثية مجموعة خالية من المجاميع (sum-free). إلى أي مدى يمكنك أن تذهب قبل أن تجبرك القاعدة على التوقف؟ ذلك الحد، لـk من الألوان، هو عدد شور S(k) (Schur number). وتعود المسألة إلى ورقة نشرها إ. شور (I. Schur) عام 1916، وهي أول مدخل في قائمة المراجع.

متتالية مشهورة بعنادها

مع لون واحد، تتعثر فورًا: 1 + 1 = 2، لذا لا يتسع اللون إلا للعدد 1. والقيم المعروفة هي:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160، وقد حدده م. ج. ه. هيوله (M. J. H. Heule) (في ورقة نُشرت عام 2018).

أما لستة ألوان، فلا أحد يعرف الجواب. فمنذ عام 2000، بلغ أفضل بناء معروف، الذي وجده ه. فريدريكسن (H. Fredricksen) وم. م. سويت (M. M. Sweet) عبر بحث في التلوينات المتناظرة، 536. ومنذ ذلك الحين يُستشهد بهذا العدد بوصفه أفضل حد أدنى، أي أرضية: فـS(6) لا يقل عنه، وقيمته الحقيقية، التي ما زالت مجهولة، قد تكون أكبر.

عدد إضافي واحد

والآن يدفعه تشييانغ تشن (Zhiyang Chen) وفان لونغ (Fan Long)، من جامعة تورنتو، وليغنغ تشو (Ligeng Zhu)، من NVIDIA Research، إلى 537. وبرهانهم من النوع الذي يحبه علماء الرياضيات لصراحته الفظة: إنهم يطبعون الجواب. ست قوائم من الأعداد، تضم على التوالي 76 و76 و88 و70 و76 و151 عددًا، تحتوي مجتمعةً كل عدد صحيح من 1 إلى 537 مرة واحدة بالضبط، من دون أن يحتوي أي لون على x وy وx + y. والتحقق منه يعني اختبار كل مجموع داخل كل قائمة، وهي مهمة سريعة بالنسبة إلى الحاسوب.

للحل شكل لافت. فهو متناظر: لكل عدد x اللون نفسه الذي للعدد 538 − x. وتبدأ الألوان الأربعة الأولى عند 1 و2 و3 و4؛ ولا يظهر الخامس إلا ابتداءً من 38، ولا السادس إلا ابتداءً من 151، ويملأ اللون السادس المقطع الأوسط كله من 237 إلى 301. بل يمكن إعادة بناء اللون الأول نفسه من بذرة لا تضم سوى 14 عددًا صغيرًا عبر انعكاس مرآوي وإزاحة وعدد واحد مضاف.

تموجات تمتد إلى الأعلى

تغذّي أعداد شور بعضها بعضًا. فثمة وصفات معروفة تحوّل تلوينًا جيدًا بـk من الألوان إلى تلوين بـk + 2 أو k + 5 من الألوان: S(k + 2) لا يقل عن 10 S(k) + 2، وS(k + 5) لا يقل عن 380 S(k) + 148. ولذا يرفع العدد الجديد 537 أرقامًا قياسية أخرى:

• ثمانية ألوان: من 5,362 إلى 5,372، وقد بنى الفريق هذا التلوين صراحةً أيضًا؛
• أحد عشر لونًا: من 203,828 إلى 204,208؛
• ثلاثة عشر لونًا: من 2,038,282 إلى 2,042,082.

كما يحسّن عدد رامزي (Ramsey number) R₆(3): وهو أصغر عدد من النقاط، المتصلة كلها مثنى مثنى، بحيث يحتوي أي تلوين لوصلاتها بستة ألوان حتمًا على مثلث بلون واحد. رقِّم 538 نقطة من 0 إلى 537، ولوِّن الوصلة بين i وj بلون فرقهما |i − j|: عندها لا يترك التلوين الخالي من المجاميع أي مثلث بلون واحد. إذن R₆(3) لا يقل عن 539، بعد أن كان الحد 538.

131 طريقة للقيام بذلك

لم يعثر البحث على حل واحد، بل على 131 حلًا مختلفًا حقًا، يصنّفها المؤلفون في خمس عائلات وينشرونها كاملة. ويبقى معظمها قريبًا جدًا من الحل الأول: فحلول العائلات من F1 إلى F4 تتفق معه في 462 موضعًا على الأقل من أصل 537. وتكسر إحدى العائلات التناظر المرآتي؛ وتُبنى أخرى بمزج ثلاث نسخ مبعثرة من الحل الأصلي.

لا تشرح الورقة كيف أُجري البحث نفسه. ويشدد المؤلفون على أن تلويناتهم الـ131 ليست فهرسًا كاملًا للحلول بستة ألوان، بل مجرد نقاط انطلاق جديدة لمن يريد أن يحاول بلوغ 538.