537 SAYI, ALTI RENK, HİÇ TOPLAM YOK

İşte bir çocuğun bile anlayabileceği bir bulmaca. 1, 2, 3 diye giden sayıları alın. Her birine bir renk verin. Tek kural: aynı renk içinde asla iki sayıyı toplamlarıyla birlikte bulamazsınız. İki sayı aynı da olabilir; yani 2 kırmızıysa 4 kırmızı olamaz, çünkü 2 + 2 = 4.

Böyle bir üçlü içermeyen kümeye toplamsız (sum-free) denir. Kural sizi durmaya zorlamadan önce ne kadar ilerleyebilirsiniz? k renk için bu sınır, Schur sayısı S(k)’dir. Problem, kaynakçanın ilk girdisi olan, I. Schur’un 1916 tarihli bir makalesine dayanıyor.

Ünlü derecede inatçı bir dizi

Tek renkle hemen takılırsınız: 1 + 1 = 2, dolayısıyla renk yalnızca 1 sayısını taşıyabilir. Bilinen değerler şunlar:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160; M. J. H. Heule tarafından belirlendi (2018’de yayımlanan bir makalede).

Altı renk için yanıtı kimse bilmiyor. 2000’den beri, H. Fredricksen ve M. M. Sweet’in simetrik boyamalar üzerinde yaptıkları bir aramayla bulunan bilinen en iyi yapı 536’ya ulaşıyordu. Bu sayı o zamandan beri en iyi alt sınır olarak aktarılıyor — bir taban: S(6) en az bu kadar büyük ve hâlâ bilinmeyen gerçek değeri daha yüksek olabilir.

Bir sayı daha

Toronto Üniversitesi’nden Zhiyang Chen ve Fan Long ile NVIDIA Research’ten Ligeng Zhu, şimdi bunu 537’ye taşıyor. İspatları, matematikçilerin dolaysızlığı nedeniyle sevdiği türden: yanıtı basıyorlar. Altı sayı listesi — sırasıyla 76, 76, 88, 70, 76 ve 151 sayıdan oluşan — 1’den 537’ye kadar her tam sayıyı tam bir kez içeriyor ve hiçbir renk x, y ve x + y’yi birlikte barındırmıyor. Doğrulamak, her listedeki her toplamı test etmek demek; bir bilgisayar için kısa bir iş.

Çözümün çarpıcı bir biçimi var. Simetrik: her x sayısı, 538 − x ile aynı renkte. İlk dört renk 1, 2, 3 ve 4’ten başlıyor; beşincisi ancak 38’den, altıncısı ancak 151’den itibaren ortaya çıkıyor ve altıncı renk 237’den 301’e kadar orta bölümün tamamını dolduruyor. İlk renk bile, yalnızca 14 küçük sayıdan oluşan bir tohumdan bir ayna simetrisi, bir kaydırma ve eklenen tek bir sayıyla yeniden kurulabiliyor.

Yukarılara yayılan dalgalar

Schur sayıları birbirini besler. Bilinen tarifler, k renkli iyi bir boyamayı k + 2 ya da k + 5 renkli bir boyamaya dönüştürür: S(k + 2) en az 10 S(k) + 2’dir, S(k + 5) ise en az 380 S(k) + 148. Böylece yeni 537 başka rekorları da yükseltiyor:

• sekiz renk: 5.362’den 5.372’ye — ve ekip bu boyamayı da açıkça inşa etti;
• on bir renk: 203.828’den 204.208’e;
• on üç renk: 2.038.282’den 2.042.082’ye.

Ayrıca bir Ramsey sayısını, R₆(3)’ü, iyileştiriyor: hepsi ikişer ikişer birbirine bağlı noktalardan oluşan ve bağlantılar altı renkle nasıl boyanırsa boyansın mutlaka tek renkli bir üçgen içeren en küçük nokta sayısı. 538 noktayı 0’dan 537’ye kadar numaralandırın ve i ile j arasındaki bağlantıyı farklarının, |i − j|’nin, rengiyle boyayın: toplamsız boyama hiçbir tek renkli üçgen bırakmaz. Dolayısıyla R₆(3) en az 539; önceki sınır 538’di.

Bunu yapmanın 131 yolu

Arama tek bir çözüm değil, yazarların beş aileye ayırıp eksiksiz yayımladığı, gerçekten birbirinden farklı 131 çözüm buldu. Çoğu ilkine çok yakın kalıyor: F1’den F4’e kadarki ailelerdekiler, 537 konumun en az 462’sinde onunla örtüşüyor. Bir aile ayna simetrisini bozuyor; bir diğeri, orijinalin karıştırılmış üç kopyasının harmanlanmasıyla kurulmuş.

Makale, aramanın kendisinin nasıl yürütüldüğünü açıklamıyor. Yazarlar, 131 boyamalarının altı renkli çözümlerin eksiksiz bir kataloğu olmadığını, yalnızca 538’i denemek isteyen herkes için yeni başlangıç noktaları olduğunu vurguluyor.