537 عدد، چھ رنگ، کوئی جوڑ نہیں

ایتھے اک بجھارت اے جو اک بال وی سمجھ سکدا اے۔ عدد 1، 2، 3، تے اگے لوو۔ ہر اک نوں اک رنگ دیو۔ اکو اصول: اک رنگ دے اندر، تُسیں کدی وی دو عدد اوہناں دے جوڑ سمیت نہیں لبھ سکدے۔ دوویں عدد اکو جیہے وی ہو سکدے نیں، ایس لئی جے 2 لال اے تے 4 لال نہیں ہو سکدا، کیونکہ 2 + 2 = 4۔

جیس سیٹ وچ اجہی کوئی تِکڑی نہ ہووے، اوہنوں جوڑ توں خالی (sum-free) آکھدے نیں۔ اصول تہانوں رُکن اُتے مجبور کرے، اوہدے توں پہلاں تُسیں کِتھے تیکر جا سکدے او؟ k رنگاں لئی ایہہ حد شور عدد S(k) (Schur number) اے۔ ایہہ مسئلہ I. Schur دے 1916 دے اک مقالے توں ٹُریا، جو حوالیاں دی فہرست دا پہلا اندراج اے۔

اک مشہور ضدی لڑی

اک رنگ نال، تُسیں اوسے ویلے پھس جاندے او: 1 + 1 = 2، ایس لئی رنگ صرف عدد 1 رکھ سکدا اے۔ جانے پچھانے مُل ایہہ نیں:

S(1) = 1
S(2) = 4
S(3) = 13
S(4) = 44
S(5) = 160، جیہنوں M. J. H. Heule نے طے کیتا (2018 وچ چھپے اک مقالے وچ)۔

چھ رنگاں لئی، جواب کسے نوں نہیں پتا۔ 2000 توں، سب توں چنگی جانی پچھانی بناوٹ، جو H. Fredricksen تے M. M. Sweet نے متوازن (symmetric) رنگائیاں دی بھال راہیں لبھی سی، 536 تیکر اپڑی سی۔ اوس ویلے توں ایہہ عدد سب توں چنگی تھلڑی حد وجوں دسیا جاندا رہیا اے — یعنی اک فرش: S(6) گھٹو گھٹ اینا وڈا اے، تے اوہدا اصل مُل، جو حالے وی کسے نوں نہیں پتا، اس توں ودھ ہو سکدا اے۔

اک ہور عدد

ٹورانٹو یونیورسٹی دے Zhiyang Chen تے Fan Long، تے NVIDIA Research دے Ligeng Zhu ہُن ایہنوں 537 تیکر دھک دیندے نیں۔ اوہناں دا ثبوت اوس قسم دا اے جیہنوں ریاضی دان اوہدی سدھی گل لئی پسند کردے نیں: اوہ جواب چھاپ دیندے نیں۔ عدداں دیاں چھ فہرستاں — جنہاں وچ 76، 76، 88، 70، 76 تے 151 عدد نیں — جو رَل کے 1 توں 537 تیکر ہر پورے عدد نوں ٹھیک اک وار رکھدیاں نیں، تے کوئی رنگ x، y تے x + y نہیں رکھدا۔ ایہنوں جانچن دا مطلب اے ہر فہرست اندر ہر جوڑ نوں پرکھنا، جو کمپیوٹر لئی چھیتی والا کم اے۔

حل دی اک حیران کن شکل اے۔ ایہہ متوازن اے: ہر عدد x دا اوہی رنگ اے جو 538 − x دا۔ پہلے چار رنگ 1، 2، 3 تے 4 توں شروع ہوندے نیں؛ پنجواں صرف 38 توں سامنے آؤندا اے، چھیواں صرف 151 توں، تے چھیواں رنگ 237 توں 301 تیکر سارا وچکارلا حصہ بھر دیندا اے۔ پہلا رنگ وی صرف 14 نکے عدداں دے اک بیج توں اک شیشے ورگے عکس، اک سرکاؤ (shift) تے اک وادھو عدد راہیں مُڑ بنایا جا سکدا اے۔

اُتے ول پھیلدیاں لہراں

شور عدد اک دوجے نوں خوراک دیندے نیں۔ جانے پچھانے نسخے k رنگاں دی اک چنگی رنگائی نوں k + 2 یا k + 5 رنگاں دی رنگائی وچ بدل دیندے نیں: S(k + 2) گھٹ توں گھٹ 10 S(k) + 2 اے، تے S(k + 5) گھٹ توں گھٹ 380 S(k) + 148۔ ایس لئی نواں 537 ہور ریکارڈ وی اُچے کردا اے:

اٹھ رنگ: 5,362 توں 5,372 — تے ٹیم نے ایہہ رنگائی وی کھل کے بنائی؛
یاراں رنگ: 203,828 توں 204,208؛
تیراں رنگ: 2,038,282 توں 2,042,082۔

ایہہ اک ریمزی عدد (Ramsey number)، R₆(3)، نوں وی بہتر بناؤندا اے: نقطیاں دی اوہ سب توں نکی گنتی، جنہاں وچوں ہر دو نقطے اک لکیر نال جُڑے ہون، کہ لکیراں نوں چھ رنگاں نال جیویں وی رنگو، اکو رنگ دی اک تکون ضرور بن جاندی اے۔ 538 نقطیاں نوں 0 توں 537 تیکر نمبر دیو تے i تے j وچکار لکیر نوں اوہناں دے فرق |i − j| دا رنگ دیو: جوڑ توں خالی رنگائی اکو رنگ دی کوئی تکون نہیں چھڈدی۔ ایس لئی R₆(3) گھٹو گھٹ 539 اے، پہلاں 538 سی۔

ایہہ کرن دے 131 طریقے

بھال نے اک نہیں بلکہ 131 سچ مچ وکھرے حل لبھے، جنہاں نوں لکھاری پنج ٹبراں وچ ونڈدے نیں تے پورے چھاپدے نیں۔ بہتے پہلے حل دے بہت نیڑے رہندے نیں: F1 توں F4 تیکر دے ٹبراں والے 537 تھاواں وچوں گھٹ توں گھٹ 462 اُتے اوہدے نال میل کھاندے نیں۔ اک ٹبر شیشے والا توازن توڑدا اے؛ اک ہور اصل دیاں تِن رَلائیاں ہوئیاں نقلاں نوں ملا کے بنایا گیا اے۔

مقالہ ایہہ نہیں دسدا کہ بھال آپ کیویں چلائی گئی۔ لکھاری زور دیندے نیں کہ اوہناں دیاں 131 رنگائیاں چھ رنگاں دے حلاں دی مکمل فہرست نہیں، بس اوہناں سب لئی نویں شروعاتی تھاواں نیں جو 538 لئی کوشش کرنا چاہندے نیں۔