537টি সংখ্যা, ছয়টি রং, কোনো যোগফল নয়

এই ধাঁধাটি একটি শিশুও বুঝতে পারে। সংখ্যা 1, 2, 3, এভাবে নিন। প্রত্যেককে একটি রং দিন। একমাত্র নিয়ম: একই রঙের মধ্যে কখনো দুটি সংখ্যা তাদের যোগফলের সঙ্গে একসঙ্গে পাওয়া যাবে না। সংখ্যা দুটি এমনকি একই হতে পারে, তাই 2 লাল হলে 4 লাল হতে পারবে না, কারণ 2 + 2 = 4।

এমন কোনো ত্রয়ী নেই এমন সেটকে বলা হয় যোগমুক্ত (sum-free)। নিয়ম আপনাকে থামতে বাধ্য করার আগে আপনি কতদূর যেতে পারেন? k রঙের জন্য সেই সীমাই শুর সংখ্যা S(k) (Schur number)। সমস্যাটির সূচনা I. Schur-এর 1916 সালের একটি গবেষণাপত্রে, যা তথ্যসূত্র-তালিকার প্রথম ভুক্তি।

বিখ্যাতভাবে একগুঁয়ে একটি অনুক্রম

এক রঙে আপনি সঙ্গে সঙ্গে আটকে যান: 1 + 1 = 2, তাই রংটি কেবল 1 সংখ্যাটিকে ধরতে পারে। জানা মানগুলো হলো:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160, নির্ণয় করেছেন M. J. H. Heule (2018 সালে প্রকাশিত একটি গবেষণাপত্রে)।

ছয় রঙের জন্য উত্তরটা কেউ জানে না। 2000 সাল থেকে সবচেয়ে ভালো জানা নির্মাণটি, যা H. Fredricksen ও M. M. Sweet প্রতিসম রং-বিন্যাসের মধ্যে খোঁজ চালিয়ে পেয়েছিলেন, পৌঁছেছিল 536-এ। তখন থেকে এই সংখ্যাটিকেই সবচেয়ে ভালো নিম্নসীমা হিসেবে উদ্ধৃত করা হয়ে আসছে — একটি মেঝে: S(6) অন্তত এতটা বড়, আর এর আসল মান, যা এখনো অজানা, আরও বেশি হতে পারে।

আরও একটি সংখ্যা

University of Toronto-র Zhiyang Chen ও Fan Long এবং NVIDIA Research-এর Ligeng Zhu এবার একে ঠেলে নিয়ে গেছেন 537-এ। তাঁদের প্রমাণ সেই ধরনের, যা গণিতবিদেরা তার স্পষ্টবাদিতার জন্য ভালোবাসেন: তাঁরা উত্তরটা ছেপে দিয়েছেন। সংখ্যার ছয়টি তালিকা — যথাক্রমে 76, 76, 88, 70, 76 ও 151টি সংখ্যার — যেগুলোতে মিলিয়ে 1 থেকে 537 পর্যন্ত প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ঠিক একবার করে আছে, এবং কোনো রঙে x, y আর x + y একসঙ্গে নেই। এটি যাচাই করা মানে প্রতিটি তালিকার ভেতরে প্রতিটি যোগফল পরীক্ষা করা, যা কম্পিউটারের কাছে চটজলদি কাজ।

সমাধানটির আকৃতি চোখে পড়ার মতো। এটি প্রতিসম: প্রতিটি সংখ্যা x-এর রং 538 − x-এর রঙের সমান। প্রথম চারটি রং শুরু হয় 1, 2, 3 ও 4 থেকে; পঞ্চমটি দেখা দেয় কেবল 38 থেকে, ষষ্ঠটি কেবল 151 থেকে, আর ষষ্ঠ রংটি 237 থেকে 301 পর্যন্ত গোটা মাঝের অংশটি ভরে রাখে। এমনকি প্রথম রংটিকেও মাত্র 14টি ছোট সংখ্যার একটি বীজ থেকে একটি দর্পণ-প্রতিবিম্ব, একটি সরণ আর একটি বাড়তি সংখ্যার মাধ্যমে আবার গড়ে তোলা যায়।

ওপরের দিকে ছড়ানো ঢেউ

শুর সংখ্যাগুলো একে অপরকে পুষ্টি জোগায়। জানা কিছু কৌশল k রঙের একটি ভালো রং-বিন্যাসকে k + 2 বা k + 5 রঙের বিন্যাসে রূপান্তরিত করে: S(k + 2) অন্তত 10 S(k) + 2, আর S(k + 5) অন্তত 380 S(k) + 148। তাই নতুন 537 অন্য রেকর্ডগুলোকেও তুলে দেয়:

• আট রং: 5,362 থেকে 5,372 — আর দলটি সেই রং-বিন্যাসও সুস্পষ্টভাবে তৈরি করে দেখিয়েছে;
• এগারো রং: 203,828 থেকে 204,208;
• তেরো রং: 2,038,282 থেকে 2,042,082।

এটি একটি র‍্যামজি সংখ্যা (Ramsey number), R₆(3)-কেও উন্নত করে: বিন্দুর সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, যেখানে সব বিন্দু জোড়ায় জোড়ায় যুক্ত থাকলে সংযোগগুলোকে ছয় রঙে যেভাবেই রং করা হোক, অন্তত একটি এক রঙের ত্রিভুজ থাকবেই। 538টি বিন্দুকে 0 থেকে 537 পর্যন্ত নম্বর দিন, আর i ও j-এর মধ্যের সংযোগকে তাদের পার্থক্য |i − j|-এর রঙে রং করুন: যোগমুক্ত রং-বিন্যাসটি কোনো এক রঙের ত্রিভুজ তৈরি হতে দেয় না। তাই R₆(3) অন্তত 539, আগে যা ছিল 538।

কাজটা করার 131টি উপায়

খোঁজে একটি নয়, বরং 131টি সত্যিকারের আলাদা সমাধান পাওয়া গেছে, যেগুলো লেখকেরা পাঁচটি পরিবারে ভাগ করে পুরোটা প্রকাশ করেছেন। বেশির ভাগই প্রথমটির খুব কাছাকাছি: F1 থেকে F4 পরিবারের সমাধানগুলো 537টি অবস্থানের অন্তত 462টিতে তার সঙ্গে মেলে। একটি পরিবার দর্পণ-প্রতিসাম্য ভেঙে দেয়; আরেকটি তৈরি হয়েছে মূলটির তিনটি এলোমেলো করা প্রতিলিপি মিশিয়ে।

গবেষণাপত্রটি ব্যাখ্যা করে না যে খোঁজটা নিজে কীভাবে চালানো হয়েছিল। লেখকেরা জোর দিয়ে বলেছেন, তাঁদের 131টি রং-বিন্যাস ছয় রঙের সমাধানের পূর্ণ তালিকা নয়, বরং যাঁরা 538-এর চেষ্টা করতে চান তাঁদের জন্য কেবল নতুন সূচনাবিন্দু।