537 संख्याएँ, छह रंग, कोई योग नहीं

यह एक ऐसी पहेली है जिसे बच्चा भी समझ सकता है। संख्याएँ 1, 2, 3 और आगे लीजिए। हर एक को एक रंग दीजिए। एकमात्र नियम: एक ही रंग के भीतर आपको कभी दो संख्याएँ उनके योग के साथ नहीं मिलनी चाहिए। दोनों संख्याएँ एक ही भी हो सकती हैं, इसलिए अगर 2 लाल है, तो 4 लाल नहीं हो सकता, क्योंकि 2 + 2 = 4।

जिस समुच्चय में ऐसी कोई तिकड़ी न हो, उसे योग-मुक्त (sum-free) कहते हैं। नियम आपको रुकने पर मजबूर करे, उससे पहले आप कितनी दूर जा सकते हैं? k रंगों के लिए वह सीमा शूर संख्या S(k) (Schur number) है। यह समस्या I. Schur के 1916 के एक शोधपत्र तक जाती है, जो संदर्भ-सूची की पहली प्रविष्टि है।

एक मशहूर ज़िद्दी अनुक्रम

एक रंग के साथ आप तुरंत अटक जाते हैं: 1 + 1 = 2, इसलिए वह रंग केवल संख्या 1 को रख सकता है। ज्ञात मान ये हैं:

S(1) = 1
S(2) = 4
S(3) = 13
S(4) = 44
S(5) = 160, जिसे M. J. H. Heule ने निर्धारित किया (2018 में प्रकाशित एक शोधपत्र में)।

छह रंगों के लिए कोई उत्तर नहीं जानता। 2000 से, H. Fredricksen और M. M. Sweet द्वारा सममित रंग-विन्यासों की खोज से मिली सबसे अच्छी ज्ञात रचना 536 तक पहुँचती थी। तब से इस संख्या को सबसे अच्छी निचली सीमा के रूप में उद्धृत किया जाता रहा है — यानी एक न्यूनतम स्तर: S(6) कम से कम इतना बड़ा है, और इसका असली मान, जो अब भी अज्ञात है, इससे ज़्यादा हो सकता है।

एक और संख्या

University of Toronto के Zhiyang Chen और Fan Long, और NVIDIA Research के Ligeng Zhu अब इसे 537 तक ले गए हैं। उनका प्रमाण उस तरह का है जिसे गणितज्ञ उसकी बेबाकी के लिए पसंद करते हैं: वे उत्तर छाप देते हैं। संख्याओं की छह सूचियाँ — क्रमशः 76, 76, 88, 70, 76 और 151 संख्याओं वाली — जिनमें मिलकर 1 से 537 तक का हर पूर्णांक ठीक एक बार आता है, और किसी भी रंग में x, y और x + y एक साथ नहीं हैं। इसे जाँचने का मतलब है हर सूची के भीतर हर योग को परखना, जो कंप्यूटर के लिए झटपट का काम है।

इस हल का आकार ध्यान खींचता है। यह सममित है: हर संख्या x का रंग वही है जो 538 − x का। पहले चार रंग 1, 2, 3 और 4 से शुरू होते हैं; पाँचवाँ केवल 38 से दिखता है, छठा केवल 151 से, और छठा रंग 237 से 301 तक का पूरा बीच का हिस्सा भर देता है। पहले रंग को भी केवल 14 छोटी संख्याओं के एक बीज से एक दर्पण-प्रतिबिंब, एक खिसकाव (shift) और एक अतिरिक्त संख्या द्वारा दोबारा बनाया जा सकता है।

ऊपर तक फैलती लहरें

शूर संख्याएँ एक-दूसरे को पोसती हैं। ज्ञात नुस्ख़े k रंगों वाले एक अच्छे रंग-विन्यास को k + 2 या k + 5 रंगों वाले विन्यास में बदल देते हैं: S(k + 2) कम-से-कम 10 S(k) + 2 है, और S(k + 5) कम-से-कम 380 S(k) + 148। इसलिए नया 537 दूसरे रिकॉर्ड भी ऊपर उठा देता है:

आठ रंग: 5,362 से 5,372 — और टीम ने यह रंग-विन्यास भी स्पष्ट रूप से बनाकर दिखाया;
ग्यारह रंग: 203,828 से 204,208;
तेरह रंग: 2,038,282 से 2,042,082।

यह एक रैमसे संख्या (Ramsey number), R₆(3), को भी सुधारता है: बिंदुओं की वह सबसे छोटी संख्या, जिनमें हर दो बिंदु आपस में जुड़े हों और जिनकी कड़ियों को छह रंगों से किसी भी तरह रंगने पर एक ही रंग का त्रिभुज बनना तय हो। 538 बिंदुओं को 0 से 537 तक क्रमांकित कीजिए और i और j के बीच की कड़ी को उनके अंतर |i − j| के रंग से रंगिए: योग-मुक्त रंग-विन्यास एक भी एकरंगी त्रिभुज नहीं छोड़ता। इसलिए R₆(3) कम से कम 539 है, जबकि पहले यह 538 था।

ऐसा करने के 131 तरीक़े

खोज में एक नहीं, बल्कि 131 सचमुच अलग-अलग हल मिले, जिन्हें लेखक पाँच परिवारों में बाँटते हैं और पूरा प्रकाशित करते हैं। ज़्यादातर पहले हल के बहुत क़रीब रहते हैं: F1 से F4 परिवारों के हल 537 में से कम-से-कम 462 स्थानों पर उससे मेल खाते हैं। एक परिवार दर्पण-सममिति तोड़ देता है; दूसरा मूल हल की तीन उलट-पलट की गई प्रतियों को मिलाकर बनाया गया है।

शोधपत्र यह नहीं बताता कि खोज ख़ुद कैसे चलाई गई। लेखक ज़ोर देते हैं कि उनके 131 रंग-विन्यास छह रंगों वाले हलों की पूरी सूची नहीं हैं, बल्कि उन सबके लिए नए शुरुआती बिंदु हैं जो 538 तक पहुँचने की कोशिश करना चाहते हैं।