537 संख्या, सहा रंग, एकही बेरीज नाही

हे एक असे कोडे आहे जे लहान मूलही समजू शकते. 1, 2, 3 अशा संख्या घ्या. प्रत्येकीला एक रंग द्या. एकच नियम: एकाच रंगात कधीही दोन संख्या आणि त्यांची बेरीज एकत्र सापडता कामा नये. त्या दोन संख्या एकसारख्याही असू शकतात, म्हणून 2 लाल असेल, तर 4 लाल असू शकत नाही, कारण 2 + 2 = 4.

अशी त्रयी नसलेल्या संचाला बेरीज-मुक्त (sum-free) म्हणतात. हा नियम थांबायला भाग पाडण्याआधी तुम्ही किती पुढे जाऊ शकता? k रंगांसाठी ती मर्यादा म्हणजे शूर संख्या S(k) (Schur number). ही समस्या I. Schur यांच्या 1916 च्या एका शोधनिबंधापर्यंत मागे जाते, जो संदर्भसूचीतील पहिली नोंद आहे.

हट्टीपणासाठी प्रसिद्ध असलेली मालिका

एका रंगासह, तुम्ही लगेच अडकता: 1 + 1 = 2, त्यामुळे त्या रंगात फक्त 1 ही संख्याच राहू शकते. ज्ञात मूल्ये अशी आहेत:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160, M. J. H. Heule यांनी निश्चित केलेले (2018 मध्ये प्रसिद्ध झालेल्या एका शोधनिबंधात).

सहा रंगांसाठी कोणालाच उत्तर माहीत नाही. 2000 पासून, H. Fredricksen आणि M. M. Sweet यांनी सममित रंगकामांचा शोध घेऊन मिळवलेली सर्वोत्तम ज्ञात रचना 536 पर्यंत पोहोचली होती. तेव्हापासून ती संख्या सर्वोत्तम खालची मर्यादा म्हणून उद्धृत केली जात आहे — म्हणजे एक तळ: S(6) किमान इतकी मोठी आहे, आणि तिचे अजूनही अज्ञात असलेले खरे मूल्य याहून जास्त असू शकते.

आणखी एक संख्या

टोरांटो विद्यापीठाचे Zhiyang Chen आणि Fan Long, आणि NVIDIA Research चे Ligeng Zhu आता ती 537 पर्यंत नेतात. त्यांची सिद्धता अशा प्रकारची आहे जी गणितज्ञांना तिच्या थेटपणामुळे आवडते: ते उत्तरच छापतात. संख्यांच्या सहा याद्या — अनुक्रमे 76, 76, 88, 70, 76 आणि 151 संख्यांच्या — ज्या मिळून 1 ते 537 पर्यंतची प्रत्येक पूर्णांक संख्या अगदी एकदाच समाविष्ट करतात, आणि कोणत्याही रंगात x, y आणि x + y एकत्र नसतात. ते तपासणे म्हणजे प्रत्येक यादीतील प्रत्येक बेरीज तपासणे, संगणकासाठी झटपट होणारे काम.

या उत्तराचा आकार लक्षवेधी आहे. ते सममित आहे: प्रत्येक संख्या x चा रंग 538 − x च्या रंगासारखाच आहे. पहिले चार रंग 1, 2, 3 आणि 4 पासून सुरू होतात; पाचवा रंग केवळ 38 पासून दिसतो, सहावा केवळ 151 पासून, आणि सहावा रंग 237 ते 301 हा संपूर्ण मधला पट्टा भरून टाकतो. पहिला रंगसुद्धा फक्त 14 लहान संख्यांच्या बीजापासून एक आरसा-प्रतिबिंब, एक सरकवणे (shift) आणि एक जादा संख्या यांच्या साहाय्याने पुन्हा बांधता येतो.

वरपर्यंत पसरणाऱ्या लाटा

शूर संख्या एकमेकींना पोसतात. ज्ञात कृती k रंगांच्या चांगल्या रंगकामाला k + 2 किंवा k + 5 रंगांच्या रंगकामात बदलतात: S(k + 2) किमान 10 S(k) + 2 असते, आणि S(k + 5) किमान 380 S(k) + 148. त्यामुळे नवी 537 इतर विक्रमही उंचावते:

• आठ रंग: 5,362 वरून 5,372 — आणि गटाने ते रंगकामही स्पष्टपणे तयार केले;
• अकरा रंग: 2,03,828 वरून 2,04,208;
• तेरा रंग: 20,38,282 वरून 20,42,082.

यामुळे एक रॅम्से संख्या, R₆(3), देखील सुधारते: बिंदूंची अशी सर्वांत लहान संख्या की ते सर्व जोडीजोडीने जोडलेले असताना, दुव्यांना सहा रंगांनी कसेही रंगवले तरी एकाच रंगाचा त्रिकोण तयार होतोच. 0 ते 537 असे क्रमांक दिलेले 538 बिंदू घ्या आणि i व j मधील दुव्याला त्यांच्या फरकाचा, |i − j| चा, रंग द्या: बेरीज-मुक्त रंगकामात एकाच रंगाचा एकही त्रिकोण उरत नाही. म्हणून R₆(3) किमान 539 आहे, आधी ती 538 होती.

ते करण्याचे 131 मार्ग

शोधाला एक नव्हे तर 131 खऱ्या अर्थाने वेगळी उत्तरे सापडली, जी लेखक पाच कुटुंबांत वर्गीकृत करतात आणि संपूर्ण प्रसिद्ध करतात. बहुतेक पहिल्या उत्तराच्या अगदी जवळ राहतात: F1 ते F4 कुटुंबांतील उत्तरे 537 पैकी किमान 462 स्थानांवर त्याच्याशी जुळतात. एक कुटुंब आरशातील सममिती मोडते; दुसरे मूळ उत्तराच्या तीन विस्कटलेल्या प्रती मिसळून बनवले आहे.

शोध स्वतः कसा चालवला गेला हे शोधनिबंध स्पष्ट करत नाही. लेखक भर देतात की त्यांची 131 रंगकामे सहा-रंगी उत्तरांची संपूर्ण सूची नाहीत, तर 538 साठी प्रयत्न करू इच्छिणाऱ्या कोणासाठीही नवे आरंभबिंदू आहेत.