537 எண்கள், ஆறு வண்ணங்கள், கூட்டல்கள் இல்லை

ஒரு குழந்தைகூடப் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய ஒரு புதிர் இதோ. 1, 2, 3 என்று தொடரும் எண்களை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு வண்ணம் கொடுங்கள். ஒரே விதி: ஒரு வண்ணத்துக்குள், இரண்டு எண்களை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையுடன் சேர்த்து ஒருபோதும் காணக் கூடாது. இரண்டு எண்களும் ஒன்றாகவே இருக்கலாம்; எனவே 2 சிவப்பு என்றால், 4 சிவப்பாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் 2 + 2 = 4.

இப்படிப்பட்ட மும்மை இல்லாத ஒரு கணம் கூட்டலற்றது (sum-free) எனப்படுகிறது. விதி உங்களை நிறுத்தக் கட்டாயப்படுத்தும் முன் நீங்கள் எவ்வளவு தூரம் செல்ல முடியும்? k வண்ணங்களுக்கான அந்த எல்லைதான் ஷூர் எண் S(k) (Schur number). இந்தச் சிக்கல், மேற்கோள் பட்டியலின் முதல் பதிவான, I. Schur-இன் 1916 ஆய்வுக்கட்டுரையிலிருந்து தொடங்குகிறது.

புகழ்பெற்ற பிடிவாதத் தொடர்

ஒரு வண்ணத்துடன், உடனே மாட்டிக்கொள்வீர்கள்: 1 + 1 = 2, எனவே அந்த வண்ணம் எண் 1-ஐ மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியும். அறியப்பட்ட மதிப்புகள்:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160; இதை M. J. H. Heule நிர்ணயித்தார் (2018-இல் வெளியான ஒரு ஆய்வுக்கட்டுரையில்).

ஆறு வண்ணங்களுக்கு, விடை யாருக்கும் தெரியாது. 2000 முதல், சமச்சீரான வண்ணமிடல்களில் தேடியதன் மூலம் H. Fredricksen-உம் M. M. Sweet-உம் கண்டெடுத்த, அறியப்பட்ட சிறந்த கட்டமைப்பு 536-ஐ எட்டியது. அன்றிலிருந்து இந்த எண் சிறந்த கீழ் வரம்பாகக் குறிப்பிடப்பட்டு வருகிறது — அதாவது ஒரு அடித்தளம்: S(6) குறைந்தது இவ்வளவு பெரியது; இன்னும் அறியப்படாத அதன் உண்மை மதிப்பு இதைவிடப் பெரிதாக இருக்கலாம்.

இன்னும் ஒரு எண்

டொரன்டோ பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த Zhiyang Chen, Fan Long, NVIDIA Research-ஐச் சேர்ந்த Ligeng Zhu ஆகியோர் இப்போது அதை 537-க்குத் தள்ளுகின்றனர். அவர்களின் நிரூபணம், அதன் நேரடித்தன்மைக்காகக் கணிதவியலாளர்கள் விரும்பும் வகை: அவர்கள் விடையை அச்சிடுகின்றனர். எண்களின் ஆறு பட்டியல்கள் — முறையே 76, 76, 88, 70, 76, 151 எண்கள் கொண்டவை — சேர்ந்து 1 முதல் 537 வரையிலான ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் சரியாக ஒருமுறை கொண்டுள்ளன; எந்த வண்ணமும் x, y, x + y-ஐக் கொண்டிருக்கவில்லை. அதைச் சரிபார்ப்பது என்றால் ஒவ்வொரு பட்டியலுக்குள்ளும் ஒவ்வொரு கூட்டலையும் சோதிப்பது; ஒரு கணினிக்கு இது விரைவான வேலை.

தீர்வுக்கு வியக்கத்தக்க ஒரு வடிவம் உண்டு. அது சமச்சீரானது: ஒவ்வொரு எண் x-உம் 538 − x-இன் அதே வண்ணத்தைக் கொண்டுள்ளது. முதல் நான்கு வண்ணங்கள் 1, 2, 3, 4-இல் தொடங்குகின்றன; ஐந்தாவது 38-இலிருந்து மட்டுமே தோன்றுகிறது, ஆறாவது 151-இலிருந்து மட்டுமே; ஆறாவது வண்ணம் 237 முதல் 301 வரையிலான நடுப்பகுதி முழுவதையும் நிரப்புகிறது. முதல் வண்ணத்தைக்கூட, வெறும் 14 சிறிய எண்கள் கொண்ட ஒரு விதையிலிருந்து ஒரு கண்ணாடிப் பிம்பம், ஒரு நகர்த்தல், கூடுதலாக ஒரு எண் ஆகியவற்றின் மூலம் மீண்டும் கட்டியெழுப்பலாம்.

மேல்நோக்கிப் பரவும் அலைகள்

ஷூர் எண்கள் ஒன்றுக்கொன்று ஊட்டமளிக்கின்றன. அறியப்பட்ட செய்முறைகள், k வண்ணங்கள் கொண்ட ஒரு நல்ல வண்ணமிடலை k + 2 அல்லது k + 5 வண்ணங்கள் கொண்டதாக மாற்றுகின்றன: S(k + 2) குறைந்தது 10 S(k) + 2, S(k + 5) குறைந்தது 380 S(k) + 148. ஆகவே புதிய 537 மற்ற சாதனைகளையும் உயர்த்துகிறது:

• எட்டு வண்ணங்கள்: 5,362-இலிருந்து 5,372-க்கு — அந்த வண்ணமிடலையும் குழு வெளிப்படையாகக் கட்டியது;
• பதினொரு வண்ணங்கள்: 203,828-இலிருந்து 204,208-க்கு;
• பதின்மூன்று வண்ணங்கள்: 2,038,282-இலிருந்து 2,042,082-க்கு.

இது ஒரு ராம்சே எண்ணையும் (Ramsey number), R₆(3), மேம்படுத்துகிறது: எல்லாப் புள்ளிகளும் இரண்டிரண்டாக இணைக்கப்பட்டிருக்கும்போது, இணைப்புகளை ஆறு வண்ணங்களால் எப்படி வண்ணமிட்டாலும் ஒரே வண்ண முக்கோணம் கட்டாயம் உருவாகும் மிகச் சிறிய புள்ளி எண்ணிக்கையே அது. 538 புள்ளிகளுக்கு 0 முதல் 537 வரை எண்ணிட்டு, i, j இடையிலான இணைப்புக்கு அவற்றின் வேறுபாடு |i − j|-இன் வண்ணத்தைக் கொடுங்கள்: கூட்டலற்ற வண்ணமிடல் ஒரே வண்ண முக்கோணம் எதையும் விட்டுவைப்பதில்லை. எனவே R₆(3) குறைந்தது 539; முன்பு இந்த வரம்பு 538 ஆக இருந்தது.

இதைச் செய்ய 131 வழிகள்

தேடல் ஒரு தீர்வை அல்ல, உண்மையிலேயே வேறுபட்ட 131 தீர்வுகளைக் கண்டெடுத்தது; ஆசிரியர்கள் அவற்றை ஐந்து குடும்பங்களாக வகைப்படுத்தி முழுமையாக வெளியிடுகின்றனர். பெரும்பாலானவை முதல் தீர்வுக்கு மிக அருகிலேயே இருக்கின்றன: F1 முதல் F4 வரையிலான குடும்பங்களில் உள்ளவை 537 நிலைகளில் குறைந்தது 462-இல் அதனுடன் ஒத்துப்போகின்றன. ஒரு குடும்பம் ஆடிச் சமச்சீரை உடைக்கிறது; மற்றொன்று மூலத்தின் கலைக்கப்பட்ட மூன்று நகல்களைக் கலந்து கட்டப்பட்டது.

தேடல் எப்படி நடத்தப்பட்டது என்பதை ஆய்வுக்கட்டுரை விளக்கவில்லை. தங்கள் 131 வண்ணமிடல்கள் ஆறு வண்ணத் தீர்வுகளின் முழுமையான பட்டியல் அல்ல, 538-க்கு முயல விரும்பும் எவருக்குமான புதிய தொடக்கப் புள்ளிகள் மட்டுமே என்று ஆசிரியர்கள் வலியுறுத்துகின்றனர்.