537 عدد، شش رنگ، بی هیچ جمعی
این معمایی است که یک کودک هم می‌تواند بفهمد. اعداد 1، 2، 3 و همین‌طور الی آخر را بردارید. به هر کدام یک رنگ بدهید. تنها قاعده: درون یک رنگ، هرگز نباید دو عدد را همراه با مجموعشان پیدا کنید. دو عدد حتی می‌توانند یکی باشند، پس اگر 2 قرمز باشد، 4 نمی‌تواند قرمز باشد، چون 2 + 2 = 4.
مجموعه‌ای که چنین سه‌تایی‌ای ندارد جمع‌آزاد (sum-free) نامیده می‌شود. پیش از آنکه قاعده شما را به توقف وادارد تا کجا می‌توانید پیش بروید؟ این حد، برای k رنگ، عدد شور S(k) (Schur number) است. این مسئله به مقاله‌ای از ای. شور (I. Schur) در سال 1916 بازمی‌گردد، نخستین مدخل فهرست منابع.
دنباله‌ای به‌طرز مشهوری سرسخت
با یک رنگ، فوراً گیر می‌کنید: 1 + 1 = 2، پس آن رنگ تنها می‌تواند عدد 1 را داشته باشد. مقادیر شناخته‌شده این‌ها هستند:
- S(1) = 1
- S(2) = 4
- S(3) = 13
- S(4) = 44
- S(5) = 160، که ام. جی. اچ. هویله (M. J. H. Heule) آن را تعیین کرد (در مقاله‌ای منتشرشده در 2018).
برای شش رنگ، هیچ‌کس پاسخ را نمی‌داند. از سال 2000، بهترین ساختار شناخته‌شده، که اچ. فردریکسن (H. Fredricksen) و ام. ام. سوییت (M. M. Sweet) با جست‌وجو میان رنگ‌آمیزی‌های متقارن یافته بودند، به 536 می‌رسید. از آن زمان این عدد به‌عنوان بهترین کران پایین نقل شده است — یک کف: S(6) دست‌کم همین اندازه است، و مقدار واقعی آن، که هنوز ناشناخته است، می‌تواند بزرگ‌تر باشد.
یک عدد دیگر
جی‌یانگ چن (Zhiyang Chen) و فن لانگ (Fan Long) از دانشگاه تورنتو و لی‌گنگ ژو (Ligeng Zhu) از NVIDIA Research اکنون آن را به 537 رسانده‌اند. اثبات آن‌ها از آن نوعی است که ریاضی‌دانان به خاطر صراحتش دوست دارند: پاسخ را چاپ می‌کنند. شش فهرست از اعداد — به ترتیب با 76، 76، 88، 70، 76 و 151 عدد — که روی هم هر عدد صحیح از 1 تا 537 را دقیقاً یک بار در بر دارند، بی‌آنکه هیچ رنگی x، y و x + y را داشته باشد. وارسی آن یعنی آزمودن همهٔ جمع‌ها درون هر فهرست، کاری سریع برای یک رایانه.
این راه‌حل شکل چشمگیری دارد. متقارن است: هر عدد x همان رنگ 538 − x را دارد. چهار رنگ نخست از 1، 2، 3 و 4 آغاز می‌شوند؛ رنگ پنجم تنها از 38 به بعد، و رنگ ششم تنها از 151 به بعد پیدا می‌شود، و رنگ ششم کل بخش میانی از 237 تا 301 را پر می‌کند. حتی رنگ نخست را می‌توان از بذری تنها با 14 عدد کوچک، با یک تصویر آینه‌ای، یک جابه‌جایی و یک عدد افزوده، از نو ساخت.
موج‌هایی که بالاتر می‌روند
اعداد شور به هم خوراک می‌دهند. دستورهای شناخته‌شده یک رنگ‌آمیزی خوب با k رنگ را به رنگ‌آمیزی‌ای با k + 2 یا k + 5 رنگ تبدیل می‌کنند: S(k + 2) دست‌کم 10 S(k) + 2 است، و S(k + 5) دست‌کم 380 S(k) + 148. پس 537 تازه رکوردهای دیگری را هم بالا می‌برد:
- هشت رنگ: از 5,362 به 5,372 — و گروه این رنگ‌آمیزی را هم صریحاً ساخت؛
- یازده رنگ: از 203,828 به 204,208؛
- سیزده رنگ: از 2,038,282 به 2,042,082.
همچنین یک عدد رمزی (Ramsey number)، R₆(3)، را بهبود می‌دهد: کوچک‌ترین تعداد نقطه‌هایی که همه دوبه‌دو به هم وصل‌اند، به‌طوری که هر رنگ‌آمیزی پیوندها با شش رنگ ناگزیر مثلثی تک‌رنگ در خود داشته باشد. 538 نقطه را از 0 تا 537 شماره‌گذاری کنید و پیوند میان i و j را با رنگِ تفاضلشان |i − j| رنگ کنید: رنگ‌آمیزی جمع‌آزاد هیچ مثلث تک‌رنگی باقی نمی‌گذارد. پس R₆(3) دست‌کم 539 است، در برابر 538 پیش از این.
131 راه برای انجامش
این جست‌وجو نه یک راه‌حل، بلکه 131 راه‌حلِ واقعاً متفاوت یافت که نویسندگان آن‌ها را در پنج خانواده دسته‌بندی کرده و کامل منتشر کرده‌اند. بیشترشان بسیار نزدیک به نخستین راه‌حل می‌مانند: آن‌هایی که در خانواده‌های F1 تا F4 هستند دست‌کم در 462 جایگاه از 537 جایگاه با آن هم‌خوان‌اند. یک خانواده تقارن آینه‌ای را می‌شکند؛ خانواده‌ای دیگر با آمیختن سه نسخهٔ درهم‌ریختهٔ نسخهٔ اصلی ساخته شده است.
مقاله توضیح نمی‌دهد که خودِ جست‌وجو چگونه انجام شد. نویسندگان تأکید می‌کنند که 131 رنگ‌آمیزی آن‌ها فهرست کاملی از راه‌حل‌های شش‌رنگی نیست، تنها نقطه‌های شروع تازه‌ای است برای هر کسی که بخواهد بخت خود را برای 538 بیازماید.