537 اعداد، چھ رنگ، کوئی مجموعہ نہیں

یہ ایک ایسی پہیلی ہے جو بچہ بھی سمجھ سکتا ہے۔ اعداد 1، 2، 3 وغیرہ لیں۔ ہر ایک کو ایک رنگ دیں۔ واحد اصول: ایک ہی رنگ کے اندر آپ کو کبھی دو اعداد اپنے مجموعے کے ساتھ نہیں ملنے چاہییں۔ دونوں اعداد ایک ہی بھی ہو سکتے ہیں، لہٰذا اگر 2 سرخ ہے تو 4 سرخ نہیں ہو سکتا، کیونکہ 2 + 2 = 4۔

جس مجموعے میں ایسی کوئی تکڑی نہ ہو اسے مجموعے سے پاک (sum-free) کہتے ہیں۔ اصول آپ کو رکنے پر مجبور کرے، اس سے پہلے آپ کتنا آگے جا سکتے ہیں؟ k رنگوں کے لیے یہ حد شور عدد S(k) (Schur number) ہے۔ یہ مسئلہ آئی شور کے 1916 کے ایک مقالے تک جاتا ہے، جو حوالوں کی فہرست میں پہلا ہے۔

ایک مشہور ضدی سلسلہ

ایک رنگ کے ساتھ آپ فوراً پھنس جاتے ہیں: 1 + 1 = 2، اس لیے اس رنگ میں صرف عدد 1 ہو سکتا ہے۔ معلوم قدریں یہ ہیں:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160، جسے ایم جے ایچ ہیولے نے متعین کیا (2018 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں)۔

چھ رنگوں کے لیے کوئی جواب نہیں جانتا۔ 2000 سے، سب سے بہتر معلوم تعمیر، جو ایچ فریڈرکسن اور ایم ایم سویٹ نے متناظر رنگ آمیزیوں میں تلاش کے ذریعے پائی، 536 تک پہنچی تھی۔ تب سے یہ عدد بہترین زیریں حد کے طور پر نقل ہوتا رہا ہے — یعنی ایک فرش: S(6) کم از کم اتنا بڑا ہے، اور اس کی اصل قدر، جو اب بھی نامعلوم ہے، اس سے زیادہ ہو سکتی ہے۔

ایک عدد اور

یونیورسٹی آف ٹورنٹو کے ژی یانگ چن اور فان لونگ، اور NVIDIA Research کے لی گینگ ژو اب اسے 537 تک لے گئے ہیں۔ ان کا ثبوت اس قسم کا ہے جسے ریاضی دان اس کی صاف گوئی کی وجہ سے پسند کرتے ہیں: وہ جواب چھاپ دیتے ہیں۔ اعداد کی چھ فہرستیں — جن میں بالترتیب 76، 76، 88، 70، 76 اور 151 اعداد ہیں — جو مل کر 1 سے 537 تک ہر صحیح عدد کو ٹھیک ایک بار رکھتی ہیں، اور کسی رنگ میں x، y اور x + y نہیں۔ اسے جانچنے کا مطلب ہے ہر فہرست کے اندر ہر مجموعہ آزمانا، جو کمپیوٹر کے لیے جلدی کا کام ہے۔

حل کی شکل نمایاں ہے۔ یہ متناظر ہے: ہر عدد x کا رنگ وہی ہے جو 538 − x کا۔ پہلے چار رنگ 1، 2، 3 اور 4 سے شروع ہوتے ہیں؛ پانچواں صرف 38 سے ظاہر ہوتا ہے، چھٹا صرف 151 سے، اور چھٹا رنگ 237 سے 301 تک پورا درمیانی حصہ بھر دیتا ہے۔ حتیٰ کہ پہلا رنگ بھی صرف 14 چھوٹے اعداد کے ایک بیج سے ایک آئینہ وار عکس، ایک سرکاؤ اور ایک اضافی عدد کے ذریعے دوبارہ بنایا جا سکتا ہے۔

اوپر تک پھیلتی لہریں

شور اعداد ایک دوسرے کو غذا دیتے ہیں۔ معلوم نسخے k رنگوں والی ایک اچھی رنگ آمیزی کو k + 2 یا k + 5 رنگوں والی رنگ آمیزی میں بدل دیتے ہیں: S(k + 2) کم از کم 10 S(k) + 2 ہے، اور S(k + 5) کم از کم 380 S(k) + 148۔ اس لیے نیا 537 دوسرے ریکارڈ بھی اٹھا دیتا ہے:

• آٹھ رنگ: 5,362 سے 5,372 — اور ٹیم نے یہ رنگ آمیزی بھی صراحت سے بنائی؛
• گیارہ رنگ: 203,828 سے 204,208؛
• تیرہ رنگ: 2,038,282 سے 2,042,082۔

یہ ایک رامزی عدد (Ramsey number)، R₆(3)، کو بھی بہتر کرتا ہے: یہ نقطوں کی وہ کم سے کم تعداد ہے، جن میں ہر دو نقطے آپس میں جڑے ہوں، کہ روابط کو چھ رنگوں سے جیسے بھی رنگا جائے، ایک ہی رنگ کا کوئی مثلث ضرور بنے۔ 538 نقطوں کو 0 سے 537 تک نمبر دیں اور i اور j کے درمیان ربط کو ان کے فرق |i − j| کے رنگ سے رنگیں: مجموعے سے پاک رنگ آمیزی ایک بھی یک رنگ مثلث نہیں چھوڑتی۔ چنانچہ R₆(3) کم از کم 539 ہے، جبکہ پہلے یہ حد 538 تھی۔

یہ کرنے کے 131 طریقے

تلاش میں ایک نہیں بلکہ 131 حقیقی طور پر مختلف حل ملے، جنہیں مصنفین پانچ خاندانوں میں ترتیب دیتے ہیں اور پورا شائع کرتے ہیں۔ زیادہ تر پہلے حل کے بہت قریب رہتے ہیں: خاندان F1 سے F4 والے 537 میں سے کم از کم 462 مقامات پر اس سے متفق ہیں۔ ایک خاندان آئینے والا تناظر توڑ دیتا ہے؛ دوسرا اصل کی تین گڈمڈ نقلوں کو ملا کر بنایا گیا ہے۔

مقالہ یہ نہیں بتاتا کہ تلاش بذاتِ خود کیسے کی گئی۔ مصنفین زور دیتے ہیں کہ ان کی 131 رنگ آمیزیاں چھ رنگوں کے حلوں کی مکمل فہرست نہیں، بلکہ صرف ان سب کے لیے نئے نقاطِ آغاز ہیں جو 538 تک پہنچنے کی کوشش کرنا چاہیں۔