537个数，六种颜色，没有和

这是一个孩子都能理解的谜题。取数字1、2、3，依此类推。给每个数涂上一种颜色。唯一的规则是：在同一种颜色里，永远不能出现两个数连同它们的和。这两个数甚至可以相同，所以如果2是红色，那么4就不能是红色，因为2 + 2 = 4。

不含这种三元组的集合称为无和集（sum-free）。在规则迫使你停下之前，你能走多远？对于k种颜色，这个极限就是舒尔数S(k)。这个问题可以追溯到I. 舒尔（I. Schur）1916年的一篇论文，也就是参考文献列表中的第一条。

一个出了名的顽固数列

只用一种颜色，你马上就会卡住：1 + 1 = 2，所以这种颜色只能容纳数字1。已知的值为：

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160，由M. J. H. 赫勒（M. J. H. Heule）确定（发表于2018年的一篇论文）。

对于六种颜色，没有人知道答案。自2000年以来，已知最好的构造由H. 弗雷德里克森（H. Fredricksen）和M. M. 斯威特（M. M. Sweet）通过搜索对称涂色找到，达到了536。从那以后，这个数一直被引用为最好的下界——这是一个下限：S(6)至少有这么大，而它至今未知的真实值可能更高。

再多一个数

多伦多大学的Zhiyang Chen和Fan Long，以及英伟达研究院的Ligeng Zhu，如今把它推到了537。他们的证明正是数学家因其直截了当而钟爱的那一类：他们直接把答案印了出来。六个数字列表——分别有76、76、88、70、76和151个数——合起来恰好把从1到537的每个整数都包含一次，且没有任何一种颜色同时含有x、y和x + y。要验证它，就是检查每个列表内的每一个和，计算机很快就能完成。

这个解的形状引人注目。它是对称的：每个数x与538 − x颜色相同。前四种颜色分别从1、2、3和4开始；第五种颜色从38才开始出现，第六种颜色从151才开始出现，而第六种颜色占满了从237到301的整个中段。就连第一种颜色，也可以从仅由14个小数构成的种子出发，通过一次镜像对称、一次平移和添加一个数重建出来。

向更高处扩散的涟漪

舒尔数之间相互关联。已知的方法可以把一个k色的好涂色变成一个k + 2色或k + 5色的涂色：S(k + 2)至少为10 S(k) + 2，S(k + 5)至少为380 S(k) + 148。因此，新的537抬高了其他纪录：

• 八种颜色：从5,362提高到5,372——团队还明确构造出了这个涂色；
• 十一种颜色：从203,828提高到204,208；
• 十三种颜色：从2,038,282提高到2,042,082。

它还改进了一个拉姆齐数R₆(3)：取一些两两相连的点，无论用六种颜色怎样给这些连线涂色，都必然出现一个单色三角形——满足这一点所需的最少点数就是R₆(3)。把538个点从0编号到537，再把点i和点j之间的连线涂成它们之差|i − j|的颜色：这个无和涂色不会留下任何单色三角形。因此R₆(3)至少是539，此前的下界是538。

131种做法

这次搜索找到的不是一个解，而是131个真正不同的解，作者把它们分成五个家族，并全部公开。大多数解都与第一个解非常接近：F1到F4家族中的解与它在537个位置中至少有462个位置一致。有一个家族打破了镜像对称；另一个家族则是把原解的三个打乱的副本混合起来构造的。

论文没有说明搜索本身是如何进行的。作者强调，他们的131种涂色并不是六色解的完整目录，只是为想要冲击538的人提供的新起点。