NAMBA 537, RANGI SITA, HAKUNA JUMLA — The Knowledge Frontier

Hili ni fumbo ambalo hata mtoto anaweza kulielewa. Chukua namba 1, 2, 3, na kuendelea. Ipe kila moja rangi. Kanuni pekee: ndani ya rangi moja, kamwe usikute namba mbili pamoja na jumla yake. Namba hizo mbili zinaweza hata kuwa sawa, kwa hiyo kama 2 ni nyekundu, basi 4 haiwezi kuwa nyekundu, kwa sababu 2 + 2 = 4.

Seti isiyo na utatu wa namna hiyo inaitwa isiyo na jumla (sum-free). Unaweza kwenda umbali gani kabla kanuni haijakulazimisha kusimama? Kikomo hicho, kwa rangi k, ndicho namba ya Schur S(k). Tatizo hili linarudi kwenye makala ya mwaka 1916 ya I. Schur, ingizo la kwanza katika orodha ya marejeo.

Mfuatano maarufu kwa ukaidi

Kwa rangi moja, unakwama papo hapo: 1 + 1 = 2, kwa hiyo rangi hiyo inaweza kubeba namba 1 tu. Thamani zinazojulikana ni:

S(1) = 1
S(2) = 4
S(3) = 13
S(4) = 44
S(5) = 160, iliyobainishwa na M. J. H. Heule (katika makala iliyochapishwa mwaka 2018).

Kwa rangi sita, hakuna anayejua jibu. Tangu 2000, ujenzi bora unaojulikana, uliopatikana na H. Fredricksen na M. M. Sweet kupitia utafutaji katika upakaji rangi wenye ulinganifu, ulifikia 536. Namba hiyo imekuwa ikinukuliwa kama kikomo bora cha chini tangu wakati huo — yaani sakafu: S(6) ni angalau kubwa hivyo, na thamani yake halisi, ambayo bado haijulikani, inaweza kuwa kubwa zaidi.

Namba moja zaidi

Zhiyang Chen na Fan Long, wa Chuo Kikuu cha Toronto, na Ligeng Zhu, wa NVIDIA Research, sasa wanaisukuma hadi 537. Uthibitisho wao ni wa aina ambayo wanahisabati huipenda kwa uwazi wake: wanachapisha jibu. Orodha sita za namba — zenye namba 76, 76, 88, 70, 76 na 151 — ambazo kwa pamoja zina kila namba kamili kuanzia 1 hadi 537 mara moja hasa, bila rangi yoyote kuwa na x, y na x + y. Kuikagua kunamaanisha kujaribu kila jumla ndani ya kila orodha, kazi ya haraka kwa kompyuta.

Suluhisho hilo lina umbo la kuvutia. Lina ulinganifu: kila namba x ina rangi ileile na 538 − x. Rangi nne za kwanza zinaanzia 1, 2, 3 na 4; ya tano inaonekana kuanzia 38 tu, ya sita kuanzia 151 tu, na rangi ya sita inajaza sehemu nzima ya katikati kuanzia 237 hadi 301. Hata rangi ya kwanza inaweza kujengwa upya kutokana na mbegu ya namba ndogo 14 tu kwa taswira ya kioo, msogezo mmoja na namba moja ya ziada.

Mawimbi yanayoenea juu zaidi

Namba za Schur hulishana. Mapishi yanayojulikana hugeuza upakaji rangi mzuri wenye rangi k kuwa wenye rangi k + 2 au k + 5: S(k + 2) ni angalau 10 S(k) + 2, na S(k + 5) angalau 380 S(k) + 148. Kwa hiyo 537 mpya inainua rekodi nyingine:

rangi nane: kutoka 5,362 hadi 5,372 — na timu ilijenga upakaji huo wa rangi waziwazi pia;
rangi kumi na moja: kutoka 203,828 hadi 204,208;
rangi kumi na tatu: kutoka 2,038,282 hadi 2,042,082.

Pia inaboresha namba ya Ramsey, R₆(3): idadi ndogo kabisa ya nukta, zote zikiwa zimeunganishwa wawili wawili, ambayo kwayo kila upakaji rangi wa viungo kwa rangi sita lazima uwe na pembetatu ya rangi moja. Zipe nukta 538 namba kuanzia 0 hadi 537 na upake kiungo kati ya i na j kwa rangi ya tofauti yao |i − j|: upakaji rangi usio na jumla hauachi pembetatu yoyote ya rangi moja. Kwa hiyo R₆(3) ni angalau 539, badala ya 538 hapo awali.

Njia 131 za kufanya hivyo

Utafutaji haukupata suluhisho moja bali 131 tofauti kwa kweli, ambayo waandishi wanayapanga katika familia tano na kuyachapisha kikamilifu. Mengi yanabaki karibu sana na la kwanza: yale ya familia F1 hadi F4 yanakubaliana nalo katika angalau nafasi 462 kati ya 537. Familia moja inavunja ulinganifu wa kioo; nyingine imejengwa kwa kuchanganya nakala tatu zilizovurugwa za asili.

Makala haielezi jinsi utafutaji wenyewe ulivyoendeshwa. Waandishi wanasisitiza kwamba upakaji wao 131 wa rangi si orodha kamili ya masuluhisho ya rangi sita, bali ni sehemu mpya za kuanzia kwa yeyote anayetaka kujaribu kufikia 538.