537 NÚMEROS, SEIS COLORES, NINGUNA SUMA

He aquí un rompecabezas que un niño puede entender. Toma los números 1, 2, 3, y así sucesivamente. Da a cada uno un color. La única regla: dentro de un mismo color nunca pueden aparecer dos números junto con su suma. Los dos números pueden incluso ser el mismo, así que si el 2 es rojo, el 4 no puede ser rojo, porque 2 + 2 = 4.

Un conjunto sin ninguno de estos tríos se llama libre de sumas. ¿Hasta dónde se puede llegar antes de que la regla te obligue a parar? Ese límite, para k colores, es el número de Schur S(k). El problema se remonta a un artículo de I. Schur de 1916, la primera entrada de la lista de referencias.

Una sucesión famosa por su terquedad

Con un solo color te atascas enseguida: 1 + 1 = 2, así que el color solo puede contener el número 1. Los valores conocidos son:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160, determinado por M. J. H. Heule (en un artículo publicado en 2018).

Para seis colores, nadie conoce la respuesta. Desde 2000, la mejor construcción conocida, hallada por H. Fredricksen y M. M. Sweet mediante una búsqueda entre coloraciones simétricas, llegaba a 536. Desde entonces, ese número se cita como la mejor cota inferior: un suelo, pues S(6) es al menos así de grande, y su valor real, aún desconocido, podría ser mayor.

Un número más

Zhiyang Chen y Fan Long, de la Universidad de Toronto, y Ligeng Zhu, de NVIDIA Research, la llevan ahora a 537. Su demostración es de las que los matemáticos adoran por su contundencia: imprimen la respuesta. Seis listas de números —de 76, 76, 88, 70, 76 y 151 elementos— que juntas contienen cada entero de 1 a 537 exactamente una vez, sin que ningún color contenga x, y y x + y. Comprobarlo consiste en probar cada suma dentro de cada lista, un trabajo rápido para un ordenador.

La solución tiene una forma llamativa. Es simétrica: cada número x tiene el mismo color que 538 − x. Los cuatro primeros colores empiezan en 1, 2, 3 y 4; el quinto solo aparece a partir del 38, el sexto solo a partir del 151, y el sexto color ocupa todo el tramo central del 237 al 301. Incluso el primer color puede reconstruirse a partir de una semilla de solo 14 números pequeños mediante una imagen especular, un desplazamiento y un número añadido.

Ondas que suben más arriba

Los números de Schur se alimentan unos a otros. Recetas conocidas convierten una buena coloración con k colores en otra con k + 2 o k + 5 colores: S(k + 2) es al menos 10 S(k) + 2, y S(k + 5), al menos 380 S(k) + 148. Así que el nuevo 537 eleva otros récords:

• ocho colores: de 5.362 a 5.372, y el equipo también construyó esa coloración de forma explícita;
• once colores: de 203.828 a 204.208;
• trece colores: de 2.038.282 a 2.042.082.

También mejora un número de Ramsey, R₆(3): el menor número de puntos, todos unidos de dos en dos, para el que cualquier coloración de los enlaces con seis colores contiene por fuerza un triángulo de un solo color. Si se numeran 538 puntos del 0 al 537 y se colorea el enlace entre i y j con el color de su diferencia |i − j|, la coloración libre de sumas no deja ningún triángulo de un solo color. Así que R₆(3) vale al menos 539, frente a 538 antes.

131 maneras de hacerlo

La búsqueda no encontró una solución, sino 131 realmente distintas, que los autores clasifican en cinco familias y publican completas. La mayoría se parecen mucho a la primera: las de las familias F1 a F4 coinciden con ella en al menos 462 de las 537 posiciones. Una familia rompe la simetría especular; otra se construye mezclando tres copias desordenadas de la original.

El artículo no explica cómo se llevó a cabo la búsqueda en sí. Los autores subrayan que sus 131 coloraciones no son un catálogo completo de las soluciones con seis colores, sino solo nuevos puntos de partida para quien quiera intentar llegar a 538.