537 సంఖ్యలు, ఆరు రంగులు, ఒక్క మొత్తమూ లేదు

ఒక పిల్లవాడికి కూడా అర్థమయ్యే పజిల్ ఇది. 1, 2, 3, ఇలా సంఖ్యలను తీసుకోండి. ఒక్కొక్కదానికీ ఒక రంగు ఇవ్వండి. ఒకే ఒక నియమం: ఒకే రంగులో రెండు సంఖ్యలు, వాటి మొత్తం కలిసి ఎప్పుడూ కనిపించకూడదు. ఆ రెండు సంఖ్యలు ఒకటే కావచ్చు కూడా, కాబట్టి 2 ఎరుపు అయితే, 4 ఎరుపు కాకూడదు, ఎందుకంటే 2 + 2 = 4.

అలాంటి త్రయం లేని సమితిని మొత్తరహిత (sum-free) సమితి అంటారు. ఆ నియమం మిమ్మల్ని ఆపేలా చేసే ముందు మీరు ఎంత దూరం వెళ్లగలరు? k రంగులకు ఆ పరిమితే షూర్ సంఖ్య S(k) (Schur number). ఈ సమస్య I. Schur 1916లో రాసిన ఒక పత్రానికి వెళ్తుంది, అది సూచికల జాబితాలో మొదటి ఎంట్రీ.

మొండితనానికి పేరుపొందిన ఒక శ్రేణి

ఒక రంగుతో, మీరు వెంటనే ఇరుక్కుపోతారు: 1 + 1 = 2, కాబట్టి ఆ రంగులో 1 అనే సంఖ్య మాత్రమే ఉండగలదు. తెలిసిన విలువలు ఇవి:

• S(1) = 1
• S(2) = 4
• S(3) = 13
• S(4) = 44
• S(5) = 160, M. J. H. Heule నిర్ధారించినది (2018లో ప్రచురించిన ఒక పత్రంలో).

ఆరు రంగులకు, సమాధానం ఎవరికీ తెలియదు. 2000 నుంచి, H. Fredricksen, M. M. Sweet సౌష్ఠవ రంగుల అమరికల్లో అన్వేషించి కనుగొన్న తెలిసిన అత్యుత్తమ నిర్మాణం 536కు చేరుకుంది. అప్పటి నుంచి ఆ సంఖ్యను అత్యుత్తమ దిగువ హద్దుగా ఉటంకిస్తూ వస్తున్నారు — అంటే అది ఒక కనీస మట్టం: S(6) కనీసం అంత పెద్దది, ఇంకా తెలియని దాని నిజమైన విలువ ఇంకా ఎక్కువ కావచ్చు.

మరో సంఖ్య

టొరంటో విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన Zhiyang Chen, Fan Long, NVIDIA Researchకు చెందిన Ligeng Zhu ఇప్పుడు దాన్ని 537కు నెట్టారు. వారి నిరూపణ గణిత శాస్త్రవేత్తలు దాని సూటిదనం కారణంగా ఇష్టపడే రకానిది: వారు సమాధానాన్ని ముద్రిస్తారు. సంఖ్యల ఆరు జాబితాలు — వరుసగా 76, 76, 88, 70, 76, 151 సంఖ్యలు — కలిసి 1 నుంచి 537 వరకు ప్రతి పూర్ణాంకాన్నీ సరిగ్గా ఒక్కసారి కలిగి ఉంటాయి, ఏ రంగులోనూ x, y, x + y కలిసి ఉండవు. దాన్ని తనిఖీ చేయడం అంటే ప్రతి జాబితాలోని ప్రతి మొత్తాన్నీ పరీక్షించడం, కంప్యూటర్‌కు ఇది క్షణాల పని.

ఈ పరిష్కారానికి అద్భుతమైన ఆకారం ఉంది. ఇది సౌష్ఠవమైనది: ప్రతి సంఖ్య xకూ 538 − x రంగే ఉంటుంది. మొదటి నాలుగు రంగులు 1, 2, 3, 4 వద్ద మొదలవుతాయి; ఐదో రంగు 38 నుంచి మాత్రమే కనిపిస్తుంది, ఆరోది 151 నుంచి మాత్రమే, ఆరో రంగు 237 నుంచి 301 వరకు మొత్తం మధ్య భాగాన్ని నింపుతుంది. మొదటి రంగును కూడా కేవలం 14 చిన్న సంఖ్యల బీజం నుంచి ఒక అద్దపు ప్రతిబింబం, ఒక జరుపు, అదనంగా ఒక సంఖ్య ద్వారా తిరిగి నిర్మించవచ్చు.

పైకి వ్యాపించే అలలు

షూర్ సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి ఆధారమవుతాయి. తెలిసిన పద్ధతులు k రంగులతో ఒక మంచి రంగుల అమరికను k + 2 లేదా k + 5 రంగులతో ఉన్న అమరికగా మారుస్తాయి: S(k + 2) కనీసం 10 S(k) + 2, S(k + 5) కనీసం 380 S(k) + 148. కాబట్టి కొత్త 537 ఇతర రికార్డులను కూడా పెంచుతుంది:

• ఎనిమిది రంగులు: 5,362 నుంచి 5,372కు — బృందం ఆ రంగుల అమరికను కూడా స్పష్టంగా నిర్మించింది;
• పదకొండు రంగులు: 2,03,828 నుంచి 2,04,208కు;
• పదమూడు రంగులు: 20,38,282 నుంచి 20,42,082కు.

ఇది ఒక రామ్సే సంఖ్య R₆(3)ను కూడా మెరుగుపరుస్తుంది: అన్ని బిందువులూ జంటలుగా ఒకదానితో ఒకటి కలిపి ఉన్నప్పుడు, లింకులకు ఆరు రంగులను ఎలా వేసినా తప్పనిసరిగా ఒకే రంగు త్రిభుజం ఏర్పడే అతి చిన్న బిందువుల సంఖ్య అది. 538 బిందువులకు 0 నుంచి 537 వరకు సంఖ్యలు ఇచ్చి, i, j మధ్య లింకుకు వాటి వ్యత్యాసం |i − j| రంగును వేయండి: మొత్తరహిత రంగుల అమరిక ఒక్క ఒకే-రంగు త్రిభుజాన్నీ మిగల్చదు. కాబట్టి R₆(3) కనీసం 539; ఇంతకుముందు ఈ హద్దు 538.

దీన్ని చేయడానికి 131 మార్గాలు

అన్వేషణకు ఒక్క పరిష్కారం కాదు, నిజంగా భిన్నమైన 131 పరిష్కారాలు దొరికాయి, రచయితలు వాటిని ఐదు కుటుంబాలుగా వర్గీకరించి పూర్తిగా ప్రచురించారు. చాలావరకు మొదటిదానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటాయి: F1 నుంచి F4 కుటుంబాల్లోనివి 537 స్థానాల్లో కనీసం 462 వద్ద దానితో ఏకీభవిస్తాయి. ఒక కుటుంబం దర్పణ సౌష్ఠవాన్ని ఛేదిస్తుంది; మరొకటి అసలు పరిష్కారపు మూడు కలగలిపిన ప్రతులను కలపడం ద్వారా నిర్మించబడింది.

అన్వేషణను ఎలా నడిపారో పత్రం వివరించదు. తమ 131 రంగుల అమరికలు ఆరు-రంగుల పరిష్కారాల పూర్తి జాబితా కాదని, 538 కోసం ప్రయత్నించాలనుకునే ఎవరికైనా కేవలం కొత్త ప్రారంభ బిందువులని రచయితలు నొక్కిచెబుతారు.