دفعة الطاحونة الضوئية، محسوبة حتى الحافة

مقياس الإشعاع لكروكس، الذي وصفه كروكس عام 1874، هو المثال الكلاسيكي لما يسميه الفيزيائيون التأثير الإشعاعي (radiometer effect). فالريشة الرقيقة التي يكون وجهاها عند درجتي حرارة مختلفتين، إذا وُضعت في غاز مخلخل، تتعرض لقوة وتتحرك وجانبها الأسخن في الخلف. والتفسير الذي يقدمه المؤلفون: الوجه الساخن يعيد جزيئات الغاز بسرعة أكبر في المتوسط من الوجه البارد، فيدفع الغاز بقوة أكبر على الجانب الساخن.

ويحظى هذا التأثير باهتمام متجدد في أجهزة الموائع الدقيقة، والهباء الجوي، والطيران في الهواء شديد التخلخل في الغلاف الجوي العلوي. ويعتمد سلوكه بشدة على مدى تخلخل الغاز، الذي يُقاس بعدد كنودسن: النسبة بين متوسط المسار الحر — أي متوسط المسافة التي يقطعها جزيء بين تصادمين — وحجم الريشة. في الغاز شديد التخلخل تتوزع القوة على السطح كله؛ وفي الغاز الأكثف تتركز قرب الحافة.

أبسط ريشة

انطلق تاكوما توميتا وساتوشي تاغوتشي وتيتسورو تسوجي، من كلية الدراسات العليا للمعلوماتية في جامعة كيوتو، لوصف هذه القوة عبر المدى الكامل للتخلخل، مع اهتمام خاص بالحافة. وريشتهم النموذجية هي أبسط شكل يحتفظ بحافة: قرص دائري لا متناهي الرقة، حر الحركة على امتداد محوره في غاز لا نهائي، وأحد وجهيه أدفأ قليلًا من الآخر.

لا يعاملون الغاز بوصفه مائعًا بل بوصفه جمهرة من الجزيئات، مستخدمين صيغة مبسطة من معادلة بولتزمان (نموذج BGK)، مخطّطة خطيًا للفروق الصغيرة في درجة الحرارة والحركة البطيئة. والجزء الصعب هو الحافة الحادة: فهي تُحدث قفزات مفاجئة في توزيع سرعات الجزيئات، تنتشر في الغاز وتكون شائكة بشكل خاص في الأبعاد الثلاثة. ويستخدم الفريق طريقة عددية تتتبع الجزيئات على مسارات مستقيمة وتعالج هذه القفزات صراحةً، وقد شُغّلت على الحاسوب الفائق لجامعة كيوتو.

وبفضل الخطية، تنقسم المسألة إلى أجزاء: القوة الإشعاعية على قرص أحد وجهيه ساخن، وقوة السحب على قرص متحرك. ويبلغ القرص سرعته النهائية حين تتوازن القوتان.

ما يُظهره الحساب

(a) القوة الإشعاعية مقابل التخلخل (دوائر)، مع قياسات على الأرغون أجراها Selden وزملاؤه (مثلثات)؛ (b) السرعة النهائية للقرص، مع قيمة عظمى طفيفة (الإطار الداخلي). — الشكل 3، Tomita وTaguchi وTsuji (2026)، arXiv:2610.02896.

• في الصيغة اللابعدية، تزداد القوة باطّراد مع التخلخل. في الغاز الأكثف تتناسب مع Kn^(3/2)؛ وفي الغاز شديد التخلخل تستقر عند قيمة ثابتة، −π/2.
• وهذا يفسر لماذا تجد التجارب، التي تغيّر الضغط عادةً، أن القوة الفعلية تبلغ أقصاها عند ضغط متوسط. وقد رُسمت إلى جانب الحسابات القيمُ المستنتجة من قياسات Selden وزملائه على الأرغون.
• لا ترتفع السرعة النهائية باطّراد: فهي تبلغ ذروتها عند تخلخل متوسط، أعلى قليلًا من قيمتها في أشد الغازات تخلخلًا. فزيادة تخلخل الغاز لا تجعل القرص أسرع دائمًا.
• حول القرص، يكون الغاز أسخن وأقل كثافة قرب الوجه الساخن، مع قفزة في درجة الحرارة بين ذلك الوجه والغاز الملاصق له، وتدفق على طول السطح الساخن، وتدفق قوي متركز في منطقة ضيقة حول الحافة.

حافة تقوم بالعمل

تتعلق النتيجة الأكثر لفتًا للنظر بفرق الضغط بين الوجهين. فبالنسبة لقرص مثبّت، يدفع الوجه كله، وتزداد الدفعة عند الحافة كلما زادت كثافة الغاز. أما بالنسبة لقرص يتحرك بحرية عند سرعته النهائية في غاز كثيف، فتنقسم الصورة: شريط ضيق عند الحافة يدفع القرص إلى الأمام، بينما يكبحه باقي الوجه، فتتوازن القوتان.

ويزداد عرض هذا الشريط الحافّي بالتناسب مع متوسط المسار الحر، لذا يكون في الغاز الكثيف في حدود خطوة جزيئية واحدة. ويشير المؤلفون إلى أن هذا يتسق مع الافتراض الذي وضعه أينشتاين في ورقة عام 1924 عن القوى الإشعاعية، والذي لا تزال تقديرات حديثة تستخدمه.

تحقق بطريقة أخرى

لاختبار أرقامهم، استخدم المؤلفون تناظرًا في معادلة بولتزمان مرتبطًا بعلاقات أونساغر التبادلية: يجب أن تساوي القوة الإشعاعية تدفقًا حراريًا محسوبًا في مسألة مختلفة، هي قرص متحرك عند درجة حرارة منتظمة. ويتطابق الاثنان حتى ثلاثة أرقام معنوية على الأقل في كل الحالات — وهو ما يدعم أيضًا صحة هذا التناظر في وجود حواف حادة.

يُغفل النموذج سُمك الريش الحقيقية ويستخدم قانون تصادم مبسطًا. ويرى المؤلفون جداولهم بيانات مرجعية للمسائل الحركية ذات الحواف الحادة ولجسيمات الهباء الجوي غير الكروية، ويعتزمون تناول معادلة بولتزمان الكاملة والأقراص ذات السُّمك المحدود لاحقًا.