光の風車を押す力、縁まで計算

1874年にクルックスが記述したクルックスのラジオメーターは、物理学者がラジオメーター効果と呼ぶ現象の古典的な例だ。二つの面の温度が異なる薄い羽根を希薄な気体のなかに置くと、羽根は力を受け、熱い面を後ろにして動く。著者らによる説明はこうだ。熱い面は冷たい面よりも、平均して速く気体分子を送り返すので、気体は熱い面をより強く押し返す。

この効果は、微小な流体デバイス、エアロゾル、そして上層大気の非常に薄い空気のなかでの飛行といった分野で、あらためて注目を集めている。そのふるまいは、気体がどれだけ希薄かに強く左右される。その尺度がクヌーセン数で、平均自由行程(分子が衝突から衝突までに進む平均距離)と羽根の大きさとの比だ。非常に薄い気体では力は表面全体に広がり、より濃い気体では縁の近くに集中する。

最も単純な羽根

京都大学大学院情報学研究科のTakuma Tomita、Satoshi Taguchi、Tetsuro Tsujiの3氏は、希薄さの全範囲にわたってこの力を記述しようと試み、とくに縁に注目した。モデルとした羽根は、縁を残したまま最も単純なもの、すなわち無限に薄い円板だ。無限に広がる気体のなかで軸に沿って自由に動くことができ、一方の面がもう一方よりわずかに温かい。

彼らは気体を流体としてではなく、分子の集団として扱い、ボルツマン方程式の簡略版(BGKモデル)を、小さな温度差とゆっくりした運動について線形化して用いた。難しいのは鋭い縁だ。縁は分子の速度分布に急激な飛びを生み、それが気体のなかへ広がっていく。とくに三次元では扱いがやっかいだ。チームは、分子をまっすぐな経路に沿って追跡し、こうした飛びを明示的に扱う数値計算法を、京都大学のスーパーコンピューターで実行した。

線形性のおかげで、問題は部分に分けられる。片面が熱い円盤にはたらくラジオメーター力と、動く円盤にはたらく抵抗だ。両者がつり合ったとき、円盤は終端速度に達する。

計算が示すこと

(a)希薄さに対するラジオメーター力(丸)と、Seldenらによるアルゴンでの測定値(三角)。(b)円盤の終端速度。わずかな極大がある(挿入図)。— 図3、Tomita, Taguchi & Tsuji (2026), arXiv:2610.02896.

• 無次元の形で表すと、力は希薄さとともに着実に増える。より濃い気体では**Kn^(3/2)**に比例し、非常に薄い気体では一定値−π/2で頭打ちになる。
• これで、ふつう圧力を変えて行われる実験で、実際の力が中間の圧力で最大になる理由が説明できる。Seldenらによるアルゴンでの測定から導いた値が、計算結果と並べて示されている。
• 終端速度は単調には増えない。中間の希薄さで極大となり、最も薄い気体での値をわずかに上回る。気体をさらに薄くしても、円盤が速くなるとはかぎらない。
• 円盤のまわりでは、熱い面の近くで気体が温かく、密度が低い。その面と隣接する気体とのあいだには温度の飛びがあり、熱い表面に沿った流れと、縁のまわりの狭い領域に集中した強い流れが生じる。

仕事をするのは縁

最も目を引く結果は、二つの面のあいだの圧力差にかかわる。静止させた円盤では、面全体が押し、気体が濃くなるほど縁で押す力が強まる。ところが濃い気体のなかを終端速度で自由に動く円盤では、様子が分かれる。縁の狭い帯が円盤を前に押し、面の残りの部分がブレーキをかけ、両者がつり合うのだ。

縁の帯の幅は平均自由行程に比例して大きくなるので、濃い気体では分子の一歩分ほどになる。著者らは、これがラジオメーター力についてのアインシュタインの1924年の論文の仮定と整合すると指摘している。この仮定は最近の見積もりでもまだ使われている。

別の方法で確かめる

数値を検証するため、著者らはオンサーガーの相反関係に結びついたボルツマン方程式の対称性を利用した。ラジオメーター力は、別の問題、つまり一様な温度で動く円盤について計算した熱の流れと等しくなければならない。両者はすべての場合で少なくとも有効数字3桁まで一致した。これは、鋭い縁がある場合にもこの対称性が成り立つことを裏づけてもいる。

このモデルは、実際の羽根の厚みを無視し、簡略化した衝突則を使っている。著者らは自分たちの数表を、鋭い縁をもつ気体分子運動論の問題や、球形でないエアロゾル粒子のための参照データと位置づけ、次は完全なボルツマン方程式と有限の厚みをもつ円盤に取り組む予定だ。