O EMPURRÃO DO MOINHO DE LUZ, CALCULADO ATÉ A BORDA

O radiômetro de Crookes, descrito por Crookes em 1874, é o exemplo clássico do que os físicos chamam de efeito radiométrico. Uma palheta fina cujas duas faces estão a temperaturas diferentes, colocada num gás rarefeito, sente uma força e se move com o lado mais quente atrás. A explicação dada pelos autores: a face quente devolve as moléculas de gás mais rápido, em média, do que a face fria, de modo que o gás empurra com mais força o lado quente.

O efeito desperta novo interesse para dispositivos microfluídicos, para aerossóis e para o voo no ar muito rarefeito da alta atmosfera. Seu comportamento depende fortemente do grau de rarefação do gás, medido pelo número de Knudsen: a razão entre o livre caminho médio — a distância média que uma molécula percorre entre colisões — e o tamanho da palheta. Em gás muito rarefeito, a força se distribui por toda a superfície; em gás mais denso, ela se concentra perto da borda.

A palheta mais simples

Takuma Tomita, Satoshi Taguchi e Tetsuro Tsuji, da Escola de Pós-Graduação em Informática da Universidade de Kyoto, propuseram-se a descrever essa força em toda a faixa de rarefação, com atenção especial à borda. Sua palheta modelo é a mais simples que conserva uma borda: um disco circular infinitamente fino, livre para se mover ao longo de seu eixo num gás infinito, com uma face ligeiramente mais quente que a outra.

Eles não tratam o gás como um fluido, mas como uma população de moléculas, usando uma versão simplificada da equação de Boltzmann (o modelo BGK), linearizada para pequenas diferenças de temperatura e movimento lento. A parte difícil é a borda afiada: ela cria saltos abruptos na distribuição das velocidades moleculares, que se propagam pelo gás e são especialmente delicados em três dimensões. A equipe usa um método numérico que segue as moléculas ao longo de trajetórias retilíneas e trata esses saltos explicitamente, executado no supercomputador da Universidade de Kyoto.

Graças à linearidade, o problema se divide em partes: a força radiométrica sobre um disco com uma face quente e o arrasto sobre um disco em movimento. A velocidade terminal do disco é atingida quando as duas se equilibram.

O que o cálculo mostra

(a) Força radiométrica em função da rarefação (círculos), com medições em argônio de Selden et al. (triângulos); (b) velocidade terminal do disco, com um leve máximo (detalhe). — Figura 3, Tomita, Taguchi & Tsuji (2026), arXiv:2610.02896.

• Na forma adimensional, a força cresce continuamente com a rarefação. Em gás mais denso, ela varia como Kn^(3/2); em gás muito rarefeito, estabiliza-se num valor constante, −π/2.
• Isso explica por que os experimentos, que normalmente variam a pressão, encontram a força real máxima a uma pressão intermediária. Valores deduzidos de medições em argônio feitas por Selden e colegas aparecem ao lado dos cálculos.
• A velocidade terminal não sobe continuamente: atinge um pico numa rarefação intermediária, ligeiramente acima de seu valor no gás mais rarefeito. Rarefazer ainda mais o gás nem sempre torna o disco mais rápido.
• Em torno do disco, o gás é mais quente e menos denso perto da face quente, com um salto de temperatura entre essa face e o gás adjacente, um escoamento ao longo da superfície quente e um forte escoamento concentrado numa zona estreita ao redor da borda.

Uma borda que faz o trabalho

O resultado mais marcante diz respeito à diferença de pressão entre as duas faces. Para um disco mantido parado, a face inteira empurra, cada vez mais na borda à medida que o gás fica mais denso. Para um disco que se move livremente na velocidade terminal em gás denso, o quadro se divide: uma faixa estreita na borda empurra o disco para a frente, enquanto o resto da face o freia, e as duas se equilibram.

A largura dessa faixa cresce em proporção ao livre caminho médio, de modo que, em gás denso, ela é da ordem de um passo molecular. Os autores observam que isso é coerente com a hipótese feita por Einstein num artigo de 1924 sobre as forças radiométricas, que estimativas recentes ainda utilizam.

Verificado de outra forma

Para testar seus números, os autores usaram uma simetria da equação de Boltzmann ligada às relações recíprocas de Onsager: a força radiométrica deve ser igual a um fluxo de calor calculado num problema diferente, um disco em movimento a temperatura uniforme. Os dois concordam em pelo menos três algarismos significativos em todos os casos — o que também sustenta essa simetria na presença de bordas afiadas.

O modelo ignora a espessura das palhetas reais e usa uma lei de colisão simplificada. Os autores veem suas tabelas como dados de referência para problemas cinéticos com bordas afiadas e para partículas de aerossol de forma não esférica, e planejam abordar em seguida a equação de Boltzmann completa e discos de espessura finita.