DER SCHUB DER LICHTMÜHLE, BIS ZUM RAND BERECHNET

Das Crookes-Radiometer, 1874 von Crookes beschrieben, ist das klassische Beispiel für das, was Physiker den Radiometereffekt nennen. Ein dünner Flügel, dessen zwei Seiten unterschiedliche Temperaturen haben, erfährt in einem verdünnten Gas eine Kraft und bewegt sich mit der heißeren Seite hinten. Die Erklärung der Autoren: Die heiße Seite wirft Gasmoleküle im Mittel schneller zurück als die kalte, sodass das Gas stärker gegen die heiße Seite drückt.

Der Effekt erlebt neues Interesse für winzige Fluidbauteile, für Aerosole und für das Fliegen in der sehr dünnen Luft der oberen Atmosphäre. Sein Verhalten hängt stark davon ab, wie verdünnt das Gas ist, gemessen durch die Knudsen-Zahl: das Verhältnis zwischen der mittleren freien Weglänge – der durchschnittlichen Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Stößen zurücklegt – und der Größe des Flügels. In sehr dünnem Gas verteilt sich die Kraft über die ganze Oberfläche; in dichterem Gas konzentriert sie sich nahe dem Rand.

Der einfachste Flügel

Takuma Tomita, Satoshi Taguchi und Tetsuro Tsuji von der Graduate School of Informatics der Universität Kyoto wollten diese Kraft über den gesamten Verdünnungsbereich beschreiben, mit besonderem Augenmerk auf den Rand. Ihr Modellflügel ist der einfachste, der noch einen Rand hat: eine unendlich dünne Kreisscheibe, die sich in einem unendlich ausgedehnten Gas frei entlang ihrer Achse bewegen kann, eine Seite etwas wärmer als die andere.

Sie behandeln das Gas nicht als Fluid, sondern als Population von Molekülen, mit einer vereinfachten Version der Boltzmann-Gleichung (dem BGK-Modell), linearisiert für kleine Temperaturunterschiede und langsame Bewegung. Der schwierige Teil ist die scharfe Kante: Sie erzeugt abrupte Sprünge in der Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten, die sich ins Gas ausbreiten und gerade in drei Dimensionen besonders heikel sind. Das Team nutzt ein numerisches Verfahren, das Moleküle entlang gerader Bahnen verfolgt und diese Sprünge explizit behandelt, und lässt es auf dem Supercomputer der Universität Kyoto laufen.

Dank der Linearität zerfällt das Problem in Teile: die radiometrische Kraft auf eine Scheibe mit einer heißen Seite und den Strömungswiderstand einer bewegten Scheibe. Die Endgeschwindigkeit der Scheibe ist erreicht, wenn sich beide die Waage halten.

Was die Rechnung zeigt

Zwei doppelt logarithmische Diagramme: die radiometrische Kraft, die mit dem Knudsen-artigen Parameter ansteigt und dann abflacht, und die Endgeschwindigkeit mit einem leichten Maximum.

(a) Radiometrische Kraft in Abhängigkeit von der Verdünnung (Kreise), mit Messungen an Argon von Selden et al. (Dreiecke); (b) Endgeschwindigkeit der Scheibe mit einem leichten Maximum (Ausschnitt). — Abbildung 3, Tomita, Taguchi & Tsuji (2026), arXiv:2610.02896.

In dimensionsloser Form wächst die Kraft stetig mit der Verdünnung. In dichterem Gas skaliert sie wie Kn^(3/2); in sehr dünnem Gas pendelt sie sich auf einen konstanten Wert ein, −π/2.
Das erklärt, warum Experimente, die gewöhnlich den Druck variieren, die tatsächliche Kraft bei einem mittleren Druck am größten finden. Aus Messungen an Argon von Selden und Kollegen abgeleitete Werte sind neben den Rechnungen eingetragen.
Die Endgeschwindigkeit steigt nicht stetig: Sie erreicht ihr Maximum bei mittlerer Verdünnung, etwas über ihrem Wert im dünnsten Gas. Das Gas weiter zu verdünnen, macht die Scheibe nicht immer schneller.
Um die Scheibe herum ist das Gas nahe der heißen Seite wärmer und weniger dicht, mit einem Temperatursprung zwischen dieser Seite und dem angrenzenden Gas, einer Strömung entlang der heißen Fläche und einer starken Strömung, die sich in einer schmalen Zone um den Rand konzentriert.

Ein Rand, der die Arbeit macht

Das auffälligste Ergebnis betrifft den Druckunterschied zwischen den beiden Seiten. Bei einer festgehaltenen Scheibe drückt die ganze Fläche, umso stärker am Rand, je dichter das Gas wird. Bei einer Scheibe, die sich in dichtem Gas frei mit ihrer Endgeschwindigkeit bewegt, teilt sich das Bild: Ein schmales Band am Rand schiebt die Scheibe vorwärts, während der Rest der Fläche sie bremst, und beides gleicht sich aus.

Die Breite dieses Randbands wächst proportional zur mittleren freien Weglänge, sodass sie in dichtem Gas in der Größenordnung eines molekularen Schritts liegt. Die Autoren merken an, dass dies mit der Annahme übereinstimmt, die Einstein in einer Arbeit von 1924 über Radiometerkräfte traf und die neuere Abschätzungen noch verwenden.

Auf anderem Weg überprüft

Um ihre Zahlen zu prüfen, nutzten die Autoren eine Symmetrie der Boltzmann-Gleichung, die mit den Onsagerschen Reziprozitätsbeziehungen zusammenhängt: Die radiometrische Kraft muss einem Wärmestrom gleichen, der in einem anderen Problem berechnet wird, einer bewegten Scheibe mit einheitlicher Temperatur. Beide stimmen in jedem Fall auf mindestens drei signifikante Stellen überein – was auch diese Symmetrie bei Vorhandensein scharfer Kanten stützt.

Das Modell lässt die Dicke echter Flügel außer Acht und verwendet ein vereinfachtes Stoßgesetz. Die Autoren sehen ihre Tabellen als Referenzdaten für kinetische Probleme mit scharfen Kanten und für nicht kugelförmige Aerosolteilchen und planen als Nächstes die vollständige Boltzmann-Gleichung und Scheiben endlicher Dicke.