এর্ডশ প্রশ্ন করেছিলেন ১৯৬১ সালে। উত্তর: অর্ধেক, প্রায় নিশ্চিতভাবে

একটি বহুপদীর প্রতিটি সহগের জন্য একটি মুদ্রা ছুড়ুন: হেড এলে +1, টেল এলে −1। ফল হলো একটি দৈব লিটলউড বহুপদী (random Littlewood polynomial), 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ। n ঘাতের যেকোনো বহুপদীর মতো এরও n-টি মূল আছে — জটিল সমতলের সেই বিন্দুগুলো যেখানে এর মান শূন্য।

১৯৬১ সালে গণিতবিদ এর্ডশ (Erdős) জিজ্ঞেস করেছিলেন, এই মূলগুলো কোথায় যায়। আরও নির্দিষ্ট করে: ঘাত বাড়ার সঙ্গে সঙ্গে বদ্ধ একক চাকতি — ব্যাসার্ধ ১-এর বৃত্ত ও তার ভেতরের সবকিছু — এর ভেতরে থাকা মূলের ভগ্নাংশ কি সম্ভাবনা এক সহকারে ঠিক অর্ধেকের দিকে যায়? প্রশ্নটি এর্ডশ সমস্যার তালিকায় সমস্যা #৫২২ হয়ে ওঠে। এর একটি দুর্বলতর রূপ, যা “প্রায় নিশ্চিতভাবে” নয় বরং “উচ্চ সম্ভাবনায়” সত্য, আগেই ইয়াকির (Yakir) প্রমাণ করেছিলেন।

এখন MIT-র সেবাস্তিয়ান কাওয়াদা এর্ডশের প্রশ্নের উত্তর দিলেন: হ্যাঁ।

বৃত্তের গা ঘেঁষে

গবেষণাপত্রটি অর্ধেকের চেয়েও বেশি প্রমাণ করে। প্রায় সব মূল একক বৃত্তের চারপাশে একটি সরু ফিতেয় ভিড় করে, যার দূরত্ব 1/n ক্রমের। চলক x = n(|z| − 1) দিয়ে এই ফিতেটি বড় করে দেখলে, ব্যাসার্ধ 1 + x/n-এর বৃত্তের ভেতরে থাকা মূলের অংশ একটিমাত্র বক্ররেখায় স্থির হয়:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0-তে বক্ররেখাটি ঠিক ½ দেয়: এর্ডশের উত্তর। একই বক্ররেখা দৈব সহগের একটি পুরো পরিবারের জন্য খাটে — মুদ্রা ছোড়া, বৃত্তের ওপর দৈব বিন্দু, গাউসীয় সংখ্যা। শিরোনামের সার্বজনীন (universal) অংশটি এটিই।

ফলটি তখনও খাটে, যখন বিভিন্ন ঘাতের বহুপদীগুলো যেকোনোভাবে পরস্পর যুক্ত: একবারে একটি করে মুদ্রা-নিক্ষেপ যোগ করে বানানো হোক, কিংবা প্রতিটি ঘাতে সম্পূর্ণ নতুন করে টানা হোক। মুদ্রা-নিক্ষেপের ক্ষেত্রে, চাকতির ভেতরে n/2-এর চেয়ে বাড়তি মূলের সংখ্যা মোটামুটি n^(3/4)-এর নিচে থাকে।

সার্বজনীনতা যেখানে থামে

এরপর গবেষণাপত্রটি অর্ধেকের আশপাশের ছোট ওঠানামাগুলো দেখে। এখানে সহগের বণ্টন গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। গাউসীয় সহগের ক্ষেত্রে বাড়তির ভেদাঙ্ক 0.3059 × n-এর মতো বাড়ে। অন্যান্য প্রতিসম বণ্টনের ক্ষেত্রে এটি চতুর্থ কিউমুলান্ট (fourth cumulant) নামের একটি রাশির বারো ভাগের এক ভাগ সরে যায়; রাশিটি মাপে বণ্টনের লেজগুলো কতটা ভারী। মুদ্রা-নিক্ষেপের ক্ষেত্রে ধ্রুবকটি হয় 0.3059 − 1/6। দশ লাখ পর্যন্ত ঘাতের ১৬,৩৮৪টি দৈব বহুপদীর ওপর চালানো কম্পিউটার পরীক্ষা এই পূর্বাভাসগুলোর সঙ্গে মেলে।

কীভাবে প্রমাণ করা হলো

দুটি চিরায়ত হাতিয়ার মূল কাজটি করে। জেনসেনের সূত্র একটি চাকতির ভেতরে মূলের গণনাকে একটি বৃত্ত বরাবর বহুপদীর লগারিদমের গড়ে রূপান্তর করে; দেখা যায়, এই গড় খুব ঘনভাবে কেন্দ্রীভূত। কঠিন ধাপটি হলো ঘাতের একটি বিরল অনুক্রম থেকে একসঙ্গে সব ঘাতে পৌঁছানো। ওঠানামার জন্য আর্গুমেন্ট নীতি (argument principle) মূলের বাড়তিকে একটি চিহ্নযুক্ত গণনায় রূপান্তর করে: একক বৃত্তের ওপর বহুপদী দিয়ে আঁকা একটি বক্ররেখা কতবার একটি সরলরেখা পার হয়।

যন্ত্রে যাচাই

৮২ পৃষ্ঠার এই গবেষণাপত্রের প্রতিটি প্রধান ফল Lean 4 প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্টে আনুষ্ঠানিকভাবে যাচাই করা। সমস্যা #৫২২-এর প্রমাণটি Google DeepMind-এর Formal Conjectures প্রকল্পে তার আনুষ্ঠানিক বিবৃতির সমাধান হিসেবে গৃহীত হয়েছে, আর একটিমাত্র ফাইল দিয়ে যে কেউ ওয়েব ব্রাউজারে এটি আবার চালিয়ে দেখতে পারেন। লেখক লিখেছেন, MIT-তে ম্যানোলিস কেলিসের গবেষণাগারের অভ্যন্তরীণ AI মডেল, ভাষা মডেলসহ, Lean-এ আনুষ্ঠানিকীকরণে এবং কয়েকটি নির্ণয় যাচাইয়ে সাহায্য করেছে; লেখক জানিয়েছেন, গাণিতিক পদ্ধতিটি তাঁর নিজের।

২০২৬ সালের এপ্রিলে এর্ডশ সমস্যার ফোরামে একই বিবৃতির পক্ষে দুটি অনানুষ্ঠানিক যুক্তি পোস্ট করা হয়েছিল। কাওয়াদা বলেন, এই প্রমাণ ও তার পদ্ধতি মৌলিক, এবং এটিই প্রথম আনুষ্ঠানিকভাবে যাচাই করা প্রমাণ। প্রশ্নটি তোলার পঁয়ষট্টি বছর পর যন্ত্রে যাচাই করা উত্তরটি হলো: অর্ধেক, প্রায় নিশ্চিতভাবে।