ЭРДЁШ СПРОСИЛ В 1961 ГОДУ. ПОЛОВИНА, ПОЧТИ НАВЕРНОЕ

Подбросьте монетку для каждого коэффициента многочлена: орёл даёт +1, решка даёт −1. Получится случайный многочлен Литлвуда, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Как и любой многочлен степени n, он имеет n корней — точек комплексной плоскости, где он обращается в ноль.

В 1961 году математик Эрдёш спросил, куда деваются эти корни. Точнее: стремится ли с ростом степени доля корней, лежащих в замкнутом единичном круге — окружности радиуса 1 вместе со всем, что внутри, — ровно к половине с вероятностью единица? Вопрос стал Проблемой № 522 в списке проблем Эрдёша. Более слабую версию, верную «с высокой вероятностью», а не «почти наверное», ранее доказал Якир.

Теперь Себастьен Кавада из MIT отвечает на вопрос Эрдёша: да.

Прижатые к окружности

Статья доказывает больше, чем одну половину. Почти все корни теснятся в узкой полосе вокруг единичной окружности, на расстоянии порядка 1/n. Если рассмотреть эту полосу крупным планом с помощью переменной x = n(|z| − 1), то доля корней внутри окружности радиуса 1 + x/n ложится на одну-единственную кривую:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

При x = 0 кривая даёт ровно ½ — ответ Эрдёшу. Та же кривая справедлива для целого семейства случайных коэффициентов: бросков монеты, случайных точек на окружности, гауссовых чисел. В этом и состоит универсальная часть названия.

Результат верен даже тогда, когда многочлены разных степеней связаны между собой как угодно: строятся добавлением по одному броску монеты или заново разыгрываются целиком на каждой степени. Для бросков монеты избыток корней внутри круга сверх n/2 остаётся ниже примерно n^(3/4).

Где кончается универсальность

Затем статья рассматривает малые флуктуации вокруг половины. Здесь закон распределения коэффициентов начинает играть роль. Для гауссовых коэффициентов дисперсия избытка растёт как 0,3059 × n. Для других симметричных законов она сдвигается на одну двенадцатую от величины, называемой четвёртым кумулянтом, которая показывает, насколько тяжелы хвосты распределения. Для бросков монеты константа становится равной 0,3059 − 1/6. Компьютерные эксперименты с 16 384 случайными многочленами степени до миллиона согласуются с этими предсказаниями.

Как это доказано

Основную работу выполняют два классических инструмента. Формула Йенсена превращает подсчёт корней в круге в среднее значение логарифма многочлена по окружности; это среднее оказывается сильно сконцентрированным. Трудный шаг — перейти от разреженной последовательности степеней сразу ко всем степеням. Для флуктуаций принцип аргумента превращает избыток корней в подсчёт со знаком того, сколько раз кривая, которую многочлен прочерчивает на единичной окружности, пересекает прямую.

Проверено машиной

Каждый основной результат 82-страничной статьи формально верифицирован в системе доказательств Lean 4. Доказательство Проблемы № 522 принято как решение её формальной постановки в проекте Formal Conjectures компании Google DeepMind, и единственный файл позволяет любому воспроизвести его в веб-браузере. Автор пишет, что внутренние ИИ-модели лаборатории Манолиса Келлиса в MIT, включая языковые модели, помогали с формализацией на Lean и с проверкой нескольких выводов; по словам автора, сам математический подход принадлежит ему.

В апреле 2026 года на форуме проблем Эрдёша появились два неформальных рассуждения в пользу того же утверждения. Кавада утверждает, что это доказательство и его подход оригинальны и что оно первое формально верифицированное. Через шестьдесят пять лет после того, как вопрос был задан, проверенный машиной ответ гласит: половина, почти наверное.