ERDŐS L'AVAIT DEMANDÉ EN 1961 : LA MOITIÉ, PRESQUE SÛREMENT

Jouez chaque coefficient d’un polynôme à pile ou face : pile donne +1, face donne −1. On obtient un polynôme de Littlewood aléatoire, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Comme tout polynôme de degré n, il a n racines — des points du plan complexe où il s’annule.

En 1961, le mathématicien Erdős a demandé où vont ces racines. Plus précisément : quand le degré grandit, la proportion de racines situées dans le disque unité fermé — le cercle de rayon 1 et tout son intérieur — tend-elle exactement vers la moitié, avec probabilité un ? La question est devenue le problème n° 522 de la liste des problèmes d’Erdős. Une version plus faible, vraie « avec une forte probabilité » plutôt que « presque sûrement », avait été démontrée auparavant par Yakir.

Sebastien Kawada, du MIT, répond à la question d’Erdős : oui.

Collées au cercle

L’article prouve plus que la moitié. Presque toutes les racines se pressent dans une bande fine autour du cercle unité, à une distance de l’ordre de 1/n. En zoomant sur cette bande avec la variable x = n(|z| − 1), la part des racines situées dans le cercle de rayon 1 + x/n se fixe sur une seule courbe :

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

En x = 0, la courbe donne exactement ½ : la réponse à Erdős. La même courbe vaut pour toute une famille de coefficients aléatoires — pile ou face, points au hasard sur un cercle, nombres gaussiens. C’est la partie universelle du titre.

Le résultat tient même quand les polynômes de degrés différents sont liés de n’importe quelle façon : construits en ajoutant un lancer à la fois, ou tirés entièrement à nouveau à chaque degré. Pour le pile ou face, l’excédent de racines dans le disque par rapport à n/2 reste en dessous d’environ n^(3/4).

Où s’arrête l’universalité

L’article étudie ensuite les petites fluctuations autour de la moitié. Là, la loi des coefficients compte. Pour des coefficients gaussiens, la variance de l’excédent croît comme 0,3059 × n. Pour d’autres lois symétriques, elle se décale d’un douzième d’une grandeur appelée cumulant d’ordre 4, qui mesure le poids des queues de la loi. Pour le pile ou face, la constante devient 0,3059 − 1/6. Des expériences numériques sur 16 384 polynômes aléatoires de degré allant jusqu’à un million confirment ces prédictions.

Comment c’est démontré

Deux outils classiques font l’essentiel du travail. La formule de Jensen transforme un décompte de racines dans un disque en une moyenne du logarithme du polynôme sur un cercle ; cette moyenne se révèle très concentrée. L’étape difficile consiste à passer d’une suite clairsemée de degrés à tous les degrés à la fois. Pour les fluctuations, le principe de l’argument transforme l’excédent de racines en un décompte signé du nombre de fois où une courbe, tracée par le polynôme sur le cercle unité, traverse une droite.

Vérifié par la machine

Tous les résultats principaux de cet article de 82 pages sont vérifiés formellement dans l’assistant de preuve Lean 4. La preuve du problème n° 522 a été acceptée comme solution de son énoncé formel par le projet Formal Conjectures de Google DeepMind, et un fichier unique permet à chacun de la rejouer dans un navigateur. L’auteur écrit que des modèles d’IA internes du laboratoire de Manolis Kellis, au MIT, dont des modèles de langage, ont aidé à la formalisation Lean et à la vérification de plusieurs calculs ; l’approche mathématique, précise l’auteur, est la sienne.

En avril 2026, deux arguments informels pour le même énoncé avaient été publiés sur le forum des problèmes d’Erdős. Kawada affirme que cette preuve et son approche sont originales, et qu’il s’agit de la première vérifiée formellement. Soixante-cinq ans après la question, la réponse vérifiée par la machine tient en trois mots : la moitié, presque sûrement.