ERDŐS FRAGTE 1961. DIE HÄLFTE, FAST SICHER

Werfen Sie für jeden Koeffizienten eines Polynoms eine Münze: Kopf ergibt +1, Zahl ergibt −1. Das Ergebnis ist ein zufälliges Littlewood-Polynom, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Wie jedes Polynom vom Grad n hat es n Nullstellen – Punkte der komplexen Ebene, an denen es null wird.

1961 fragte der Mathematiker Erdős, wohin diese Nullstellen wandern. Genauer: Strebt mit wachsendem Grad der Anteil der Nullstellen in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe – dem Kreis mit Radius 1 samt allem, was darin liegt – mit Wahrscheinlichkeit eins gegen genau die Hälfte? Die Frage wurde zu Problem #522 auf der Liste der Erdős-Probleme. Eine schwächere Version, die „mit hoher Wahrscheinlichkeit“ statt „fast sicher“ gilt, hatte Yakir bereits früher bewiesen.

Sebastien Kawada vom MIT beantwortet nun die Frage von Erdős: ja.

Eng am Kreis

Die Arbeit beweist mehr als die Hälfte. Fast alle Nullstellen drängen sich in einem schmalen Band um den Einheitskreis, in einem Abstand der Größenordnung 1/n. Vergrößert man dieses Band mit der Variablen x = n(|z| − 1), so legt sich der Anteil der Nullstellen innerhalb des Kreises mit Radius 1 + x/n auf eine einzige Kurve:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

Bei x = 0 ergibt die Kurve genau ½: die Antwort an Erdős. Dieselbe Kurve gilt für eine ganze Familie zufälliger Koeffizienten – Münzwürfe, zufällige Punkte auf einem Kreis, gaußsche Zahlen. Das ist der universelle Teil des Titels.

Das Ergebnis gilt sogar dann, wenn die Polynome verschiedener Grade auf beliebige Weise miteinander verknüpft sind: aufgebaut, indem man jeweils einen Münzwurf hinzufügt, oder bei jedem Grad völlig neu ausgelost. Bei Münzwürfen bleibt der Überschuss an Nullstellen in der Kreisscheibe gegenüber n/2 unter ungefähr n^(3/4).

Wo die Universalität endet

Anschließend betrachtet die Arbeit die kleinen Schwankungen um die Hälfte. Hier beginnt die Verteilung der Koeffizienten eine Rolle zu spielen. Bei gaußschen Koeffizienten wächst die Varianz des Überschusses wie 0,3059 × n. Bei anderen symmetrischen Verteilungen verschiebt sie sich um ein Zwölftel einer Größe namens vierte Kumulante, die misst, wie schwer die Ränder (Tails) der Verteilung sind. Bei Münzwürfen wird die Konstante zu 0,3059 − 1/6. Computerexperimente mit 16.384 Zufallspolynomen vom Grad bis zu einer Million stimmen mit diesen Vorhersagen überein.

Wie es bewiesen wird

Zwei klassische Werkzeuge erledigen die Schwerarbeit. Die Jensensche Formel verwandelt das Zählen von Nullstellen in einer Kreisscheibe in einen Mittelwert des Logarithmus des Polynoms entlang eines Kreises; dieser Mittelwert erweist sich als stark konzentriert. Der schwierige Schritt besteht darin, von einer dünnen Folge von Graden auf alle Grade gleichzeitig zu kommen. Für die Schwankungen verwandelt das Argumentprinzip den Überschuss an Nullstellen in eine vorzeichenbehaftete Zählung, wie oft eine Kurve, die das Polynom auf dem Einheitskreis zeichnet, eine Gerade kreuzt.

Maschinell geprüft

Jedes Hauptergebnis der 82-seitigen Arbeit ist im Beweisassistenten Lean 4 formal verifiziert. Der Beweis von Problem #522 wurde im Projekt Formal Conjectures von Google DeepMind als Lösung seiner formalen Aussage anerkannt, und eine einzige Datei erlaubt es jedem, ihn im Webbrowser nachzuvollziehen. Der Autor schreibt, dass interne KI-Modelle aus dem Labor von Manolis Kellis am MIT, darunter Sprachmodelle, bei der Formalisierung in Lean und bei der Prüfung mehrerer Herleitungen halfen; der mathematische Ansatz stamme, so der Autor, von ihm selbst.

Im April 2026 wurden im Forum der Erdős-Probleme zwei informelle Argumente für dieselbe Aussage veröffentlicht. Kawada sagt, dieser Beweis und sein Ansatz seien eigenständig und es sei der erste formal verifizierte. Fünfundsechzig Jahre nachdem die Frage gestellt wurde, lautet die maschinell geprüfte Antwort: die Hälfte, fast sicher.