埃尔德什1961年的提问：几乎必然是一半

为多项式的每个系数抛一次硬币：正面记为+1，反面记为−1。得到的就是一个随机Littlewood多项式，1 ± z ± z² ± … ± zⁿ。和任何n次多项式一样，它有n个根——也就是复平面上使它等于零的点。

1961年，数学家埃尔德什（Erdős）问：这些根会去哪里？更确切地说：随着次数增大，落在闭单位圆盘（半径为1的圆及其内部的一切）内的根所占的比例，是否以概率1趋于恰好一半？这个问题成了埃尔德什问题清单上的第522号问题。一个较弱的版本——“以高概率”成立，而不是“几乎必然”成立——此前已由Yakir证明。

麻省理工学院的Sebastien Kawada现在回答了埃尔德什的问题：是的。

紧贴着圆

这篇论文证明的不只是“一半”。几乎所有的根都挤在单位圆周围一条细窄的带里，与圆的距离量级为1/n。用变量x = n(|z| − 1)放大这条带，那么落在半径为1 + x/n的圆内的根所占比例会稳定在同一条曲线上：

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

在x = 0处，这条曲线恰好给出½：这正是埃尔德什问题的答案。同一条曲线适用于一整族随机系数——抛硬币、圆周上的随机点、高斯随机数。这就是标题中“普适”的含义。

即使不同次数的多项式之间以任意方式相互关联，这一结果依然成立：无论是每次添加一次抛硬币结果来构造，还是在每个次数上完全重新抽取。对于抛硬币的情形，圆盘内根的个数超出n/2的部分始终低于大约n^(3/4)。

普适性在哪里止步

论文接着研究了围绕“一半”的微小涨落。在这里，系数的分布开始起作用。对于高斯系数，超出部分的方差以0.3059 × n的速度增长。对于其他对称分布，它会偏移四阶累积量的十二分之一，而四阶累积量衡量的是分布尾部有多重。对于抛硬币，这个常数变为0.3059 − 1/6。在16384个次数高达一百万的随机多项式上进行的计算机实验与这些预测相符。

证明是怎样完成的

两个经典工具承担了主要工作。Jensen公式把圆盘内根的计数转化为多项式对数沿一个圆的平均值；而这个平均值事实上高度集中。困难的一步是从一个稀疏的次数序列推广到同时适用于所有次数。对于涨落，辐角原理把根的超出量转化为一个带符号的计数：多项式在单位圆上画出的一条曲线穿过一条直线的次数。

由机器检验

这篇82页论文的每个主要结果都在Lean 4证明助手中得到了形式化验证。第522号问题的证明已被**谷歌DeepMind的“形式化猜想”（Formal Conjectures）**项目接受为其形式化表述的一个解答，而且只需一个文件，任何人都能在网页浏览器中重放这个证明。作者写道，麻省理工学院Manolis Kellis实验室的内部AI模型（包括语言模型）协助了Lean形式化工作，并帮助检查了若干推导；作者声明，数学思路是作者本人的。

2026年4月，埃尔德什问题论坛上发布了两个针对同一命题的非形式化论证。Kawada表示，这个证明及其方法是原创的，而且是第一个经过形式化验证的证明。这个问题提出65年之后，经机器检验的答案是：一半，几乎必然。