ERDŐS PERGUNTOU EM 1961. METADE, QUASE CERTAMENTE

Jogue uma moeda para cada coeficiente de um polinômio: cara dá +1, coroa dá −1. O resultado é um polinômio de Littlewood aleatório, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. Como todo polinômio de grau n, ele tem n raízes — pontos do plano complexo onde ele vale zero.

Em 1961, o matemático Erdős perguntou para onde vão essas raízes. Mais precisamente: à medida que o grau cresce, a fração de raízes situadas no disco unitário fechado — o círculo de raio 1 e tudo o que está dentro dele — tende exatamente a um meio, com probabilidade um? A questão tornou-se o Problema #522 da lista de problemas de Erdős. Uma versão mais fraca, verdadeira “com alta probabilidade” em vez de “quase certamente”, já tinha sido provada por Yakir.

Sebastien Kawada, do MIT, agora responde à pergunta de Erdős: sim.

Coladas ao círculo

O artigo prova mais do que o um meio. Quase todas as raízes se amontoam numa faixa estreita em torno do círculo unitário, a uma distância da ordem de 1/n. Ampliando essa faixa com a variável x = n(|z| − 1), a proporção de raízes dentro do círculo de raio 1 + x/n se acomoda numa única curva:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

Em x = 0, a curva dá exatamente ½: a resposta para Erdős. A mesma curva vale para toda uma família de coeficientes aleatórios — lançamentos de moeda, pontos aleatórios sobre um círculo, números gaussianos. Essa é a parte universal do título.

O resultado vale até quando os polinômios de graus diferentes estão ligados entre si de qualquer maneira: construídos acrescentando um lançamento de moeda de cada vez, ou sorteados inteiramente de novo a cada grau. Para os lançamentos de moeda, o excesso de raízes dentro do disco em relação a n/2 fica abaixo de aproximadamente n^(3/4).

Onde a universalidade para

O artigo examina em seguida as pequenas flutuações em torno de um meio. Aqui, a lei dos coeficientes começa a contar. Para coeficientes gaussianos, a variância do excesso cresce como 0,3059 × n. Para outras leis simétricas, ela se desloca de um doze avos de uma grandeza chamada quarto cumulante, que mede quão pesadas são as caudas da lei. Para os lançamentos de moeda, a constante passa a ser 0,3059 − 1/6. Experimentos em computador com 16.384 polinômios aleatórios de grau até um milhão concordam com essas previsões.

Como se prova

Duas ferramentas clássicas fazem o trabalho pesado. A fórmula de Jensen transforma a contagem de raízes num disco numa média do logaritmo do polinômio ao longo de um círculo; essa média se revela muito concentrada. O passo difícil é passar de uma sequência esparsa de graus para todos os graus de uma vez. Para as flutuações, o princípio do argumento transforma o excesso de raízes numa contagem com sinal de quantas vezes uma curva, traçada pelo polinômio sobre o círculo unitário, cruza uma reta.

Verificado por máquina

Todos os resultados principais do artigo de 82 páginas são verificados formalmente no assistente de provas Lean 4. A prova do Problema #522 foi aceita como solução do seu enunciado formal no projeto Formal Conjectures do Google DeepMind, e um único arquivo permite a qualquer pessoa reproduzi-la num navegador. O autor escreve que modelos de IA internos do laboratório de Manolis Kellis no MIT, incluindo modelos de linguagem, ajudaram na formalização em Lean e na verificação de várias derivações; o autor afirma que a abordagem matemática é sua.

Em abril de 2026, dois argumentos informais para o mesmo enunciado foram publicados no fórum dos problemas de Erdős. Kawada diz que esta prova e a sua abordagem são originais, e que ela é a primeira verificada formalmente. Sessenta e cinco anos depois de a pergunta ser feita, a resposta verificada por máquina diz: metade, quase certamente.