اردوش در ۱۹۶۱ پرسید. نیمی، تقریباً به‌طور قطع
برای هر ضریب یک چندجمله‌ای سکه بیندازید: شیر یعنی +1، خط یعنی −1. حاصل یک چندجمله‌ای لیتل‌وود تصادفی است، 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. مانند هر چندجمله‌ای از درجهٔ n، این چندجمله‌ای n ریشه دارد — نقاطی از صفحهٔ مختلط که در آن‌ها مقدارش صفر می‌شود.
در ۱۹۶۱، ریاضی‌دانی به نام اردوش پرسید این ریشه‌ها کجا می‌روند. به بیان دقیق‌تر: وقتی درجه بزرگ می‌شود، آیا کسری از ریشه‌ها که درون قرص واحد بسته — دایره‌ای به شعاع ۱ و هرچه درون آن است — قرار دارند، با احتمال یک دقیقاً به نیم میل می‌کند؟ این پرسش در فهرست مسائل اردوش به مسئلهٔ #522 تبدیل شد. نسخه‌ای ضعیف‌تر، که «با احتمال زیاد» درست است نه «تقریباً به‌طور قطع»، پیش‌تر به دست یاکیر اثبات شده بود.
اکنون سباستین کاوادا از MIT به پرسش اردوش پاسخ می‌دهد: بله.
چسبیده به دایره
مقاله بیش از نیم را اثبات می‌کند. تقریباً همهٔ ریشه‌ها در نواری باریک دور دایرهٔ واحد، در فاصله‌ای از مرتبهٔ 1/n، انباشته می‌شوند. اگر با متغیر x = n(|z| − 1) روی این نوار زوم کنیم، سهم ریشه‌های درون دایره‌ای به شعاع 1 + x/n روی یک منحنی واحد می‌نشیند:
Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)
در x = 0، منحنی دقیقاً ½ می‌دهد: پاسخ اردوش. همین منحنی برای خانواده‌ای کامل از ضرایب تصادفی برقرار است — پرتاب سکه، نقاط تصادفی روی یک دایره، اعداد گاوسی. این همان بخش جهان‌شمول (universal) عنوان است.
این نتیجه حتی وقتی چندجمله‌ای‌های درجه‌های مختلف به هر شکلی به هم مربوط باشند برقرار است: چه با افزودن یک پرتاب سکه در هر گام ساخته شوند، چه در هر درجه کاملاً از نو انتخاب شوند. برای پرتاب سکه، مازاد ریشه‌های درون قرص نسبت به n/2 تقریباً زیر n^(3/4) می‌ماند.
جایی که جهان‌شمولی متوقف می‌شود
سپس مقاله به نوسان‌های کوچک حول نیم می‌پردازد. این‌جا قانون توزیع ضرایب اهمیت پیدا می‌کند. برای ضرایب گاوسی، واریانس مازاد مانند 0.3059 × n رشد می‌کند. برای دیگر توزیع‌های متقارن، این مقدار به اندازهٔ یک‌دوازدهم کمیتی به نام کومولان چهارم جابه‌جا می‌شود، که سنگینی دنباله‌های توزیع را می‌سنجد. برای پرتاب سکه، ثابت به 0.3059 − 1/6 تبدیل می‌شود. آزمایش‌های رایانه‌ای روی ۱۶٬۳۸۴ چندجمله‌ای تصادفی با درجه تا یک میلیون با این پیش‌بینی‌ها همخوانی دارند.
چگونه اثبات می‌شود
دو ابزار کلاسیک بار اصلی را بر دوش می‌کشند. فرمول جنسن شمار ریشه‌های درون یک قرص را به میانگین لگاریتم چندجمله‌ای روی یک دایره تبدیل می‌کند؛ معلوم می‌شود این میانگین به‌شدت متمرکز است. گام دشوار، رفتن از دنباله‌ای پراکنده از درجه‌ها به همهٔ درجه‌ها به‌طور هم‌زمان است. برای نوسان‌ها، اصل آرگومان مازاد ریشه‌ها را به شمارشی علامت‌دار تبدیل می‌کند: این‌که منحنی‌ای که چندجمله‌ای روی دایرهٔ واحد رسم می‌کند چند بار یک خط را قطع می‌کند.
وارسی‌شده به دست ماشین
هر نتیجهٔ اصلی این مقالهٔ ۸۲ صفحه‌ای به‌طور صوری در دستیار اثبات Lean 4 وارسی شده است. اثبات مسئلهٔ #522 به‌عنوان راه‌حل صورت‌بندی صوری آن در پروژهٔ Formal Conjectures گوگل دیپ‌مایند پذیرفته شد و یک فایل واحد به هر کسی امکان می‌دهد آن را در مرورگر وب دوباره اجرا کند. نویسنده می‌نویسد که مدل‌های هوش مصنوعی داخلی آزمایشگاه مانولیس کلیس در MIT، از جمله مدل‌های زبانی، در صوری‌سازی با Lean و وارسی چند استنتاج کمک کردند؛ نویسنده تصریح می‌کند که رویکرد ریاضی از خودش است.
در آوریل ۲۰۲۶، دو استدلال غیرصوری برای همین گزاره در انجمن مسائل اردوش منتشر شد. کاوادا می‌گوید این اثبات و رویکردش اصیل‌اند و این نخستین اثباتی است که به‌طور صوری وارسی شده است. شصت‌وپنج سال پس از طرح پرسش، پاسخ وارسی‌شده به دست ماشین چنین است: نیمی، تقریباً به‌طور قطع.