ERDŐS 1961'DE SORDU. YARISI, NEREDEYSE KESİNLİKLE

Bir polinomun her katsayısı için yazı tura atın: yazı +1, tura −1 versin. Sonuç bir rastgele Littlewood polinomudur, 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ. n’inci dereceden her polinom gibi bunun da n kökü vardır — karmaşık düzlemde sıfıra eşit olduğu noktalar.

1961’de matematikçi Erdős bu köklerin nereye gittiğini sordu. Daha kesin olarak: derece büyüdükçe, kapalı birim diskin — yarıçapı 1 olan çember ve içindeki her şey — içinde kalan köklerin oranı, olasılık bir ile tam olarak yarıya yaklaşır mı? Soru, Erdős problemleri listesinde #522 numaralı problem oldu. “Neredeyse kesinlikle” yerine “yüksek olasılıkla” geçerli olan daha zayıf bir versiyonu daha önce Yakir tarafından kanıtlanmıştı.

MIT’den Sebastien Kawada şimdi Erdős’ün sorusunu yanıtlıyor: evet.

Çembere yapışmak

Makale yarıdan fazlasını kanıtlıyor. Köklerin neredeyse tamamı birim çemberin etrafında, 1/n mertebesinde bir mesafede ince bir şeride toplanıyor. Bu şeride x = n(|z| − 1) değişkeniyle yakından bakıldığında, yarıçapı 1 + x/n olan çemberin içindeki köklerin payı tek bir eğriye oturuyor:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0’da eğri tam olarak ½ veriyor: Erdős’ün cevabı. Aynı eğri bütün bir rastgele katsayı ailesi için geçerli — yazı tura, çember üzerinde rastgele noktalar, Gauss sayıları. Başlıktaki evrensel kısım budur.

Sonuç, farklı derecelerdeki polinomlar herhangi bir şekilde birbirine bağlı olduğunda bile geçerli: ister her seferinde bir yazı tura eklenerek kurulsunlar, ister her derecede tamamen yeniden çekilsinler. Yazı tura için, diskin içindeki köklerin n/2’yi aşan fazlası kabaca n^(3/4)’ün altında kalıyor.

Evrenselliğin bittiği yer

Makale ardından yarı etrafındaki küçük dalgalanmalara bakıyor. Burada katsayıların dağılımı önem kazanmaya başlıyor. Gauss katsayıları için fazlanın varyansı 0,3059 × n gibi büyüyor. Diğer simetrik dağılımlar için, dağılımın kuyruklarının ne kadar ağır olduğunu ölçen dördüncü kümülant adlı bir niceliğin on ikide biri kadar kayıyor. Yazı tura için sabit 0,3059 − 1/6 oluyor. Derecesi bir milyona kadar çıkan 16.384 rastgele polinom üzerindeki bilgisayar deneyleri bu öngörülerle uyuşuyor.

Nasıl kanıtlanıyor

Ağır işi iki klasik araç yapıyor. Jensen formülü, bir diskteki köklerin sayısını polinomun logaritmasının bir çember etrafındaki ortalamasına dönüştürüyor; bu ortalamanın çok sıkı bir şekilde yoğunlaştığı ortaya çıkıyor. Zor adım, seyrek bir dereceler dizisinden aynı anda tüm derecelere geçmek. Dalgalanmalar için ise argüman ilkesi, köklerin fazlasını, polinomun birim çember üzerinde çizdiği bir eğrinin bir doğruyu kaç kez kestiğinin işaretli bir sayımına dönüştürüyor.

Makineyle doğrulandı

82 sayfalık makalenin her ana sonucu Lean 4 ispat asistanında biçimsel olarak doğrulandı. 522 numaralı problemin ispatı, Google DeepMind’ın Formal Conjectures projesinde biçimsel ifadesinin çözümü olarak kabul edildi ve tek bir dosya, herkesin ispatı bir web tarayıcısında yeniden çalıştırmasına olanak tanıyor. Yazar, MIT’de Manolis Kellis’in laboratuvarına ait, dil modelleri de dâhil dâhili yapay zekâ modellerinin Lean biçimselleştirmesine ve bazı türetmelerin kontrolüne yardım ettiğini yazıyor; matematiksel yaklaşımın ise kendisine ait olduğunu belirtiyor.

Nisan 2026’da aynı önerme için iki gayriresmî argüman Erdős problemleri forumunda paylaşıldı. Kawada, bu ispatın ve yaklaşımının özgün olduğunu ve biçimsel olarak doğrulanmış ilk ispat olduğunu söylüyor. Sorunun sorulmasından altmış beş yıl sonra, makineyle doğrulanmış cevap şöyle: yarısı, neredeyse kesinlikle.