1961年のエルデシュの問い、答えは「ほぼ確実に半分」

多項式の係数を一つずつコイン投げで決める。表なら+1、裏なら−1だ。できあがるのはランダムなリトルウッド多項式、1 ± z ± z² ± … ± zⁿ である。n次の多項式はどれもそうだが、この多項式にもn個の根がある。複素平面上で値がゼロになる点だ。

1961年、数学者エルデシュは、これらの根がどこへ行くのかを問うた。より正確にはこうだ。次数が大きくなるとき、閉単位円板(半径1の円とその内側すべて)の中にある根の割合は、確率1で、ちょうど2分の1に近づくのか。この問いは、エルデシュ問題リストの問題522になった。「ほぼ確実に」ではなく「高い確率で」成り立つという、より弱いバージョンは、以前にヤキル(Yakir)が証明していた。

MITのセバスチャン・カワダ(Sebastien Kawada)が今回、エルデシュの問いに答えた。答えはイエスだ。

円に寄り添う根

この論文は2分の1という結果以上のことを証明している。ほとんどすべての根は、単位円のまわりの、幅が1/n程度の細い帯に密集している。変数x = n(|z| − 1)でこの帯を拡大すると、半径1 + x/nの円の内側にある根の割合は、一本の曲線に落ち着く。

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0のとき、この曲線はちょうど½を与える。これがエルデシュへの答えだ。同じ曲線は、ランダムな係数の一群全体について成り立つ。コイン投げ、円周上のランダムな点、ガウス分布に従う数などだ。これがタイトルにある普遍的(universal)の部分である。

この結果は、異なる次数の多項式どうしがどのように結びついていても成り立つ。コイン投げを一回ずつ加えて作っていっても、次数ごとにまったく新たに引き直しても同じだ。コイン投げの場合、円板の内側にある根の数がn/2を超える分は、おおよそn^(3/4)を下回ったままだ。

普遍性が終わるところ

論文は次に、2分の1のまわりの小さなゆらぎを調べる。ここでは係数の分布が効いてくる。ガウス分布の係数では、超過分の分散は0.3059 × nのように増える。ほかの対称な分布では、4次キュムラントと呼ばれる量(分布の裾がどれほど重いかを測る量)の12分の1だけずれる。コイン投げでは、定数は0.3059 − 1/6になる。次数が最大100万までの1万6384個のランダム多項式を使った計算機実験は、これらの予測と一致している。

どのように証明されたか

主役は二つの古典的な道具だ。イェンセンの公式は、円板内の根の個数を、円周上での多項式の対数の平均に変換する。この平均は強く集中することがわかる。難しいのは、まばらな次数の列から、すべての次数へと一気に議論を広げる段階だ。ゆらぎについては、偏角の原理が、根の超過分を符号つきの回数に変換する。単位円上で多項式が描く曲線が、ある直線を何回横切るかを数えるのだ。

機械による検証

82ページの論文の主要な結果はすべて、証明支援系Lean 4で形式的に検証されている。問題522の証明は、Google DeepMindのFormal Conjecturesプロジェクトで、その形式的な主張に対する解決として認められた。ファイル一つで、誰でもウェブブラウザ上で証明を再現できる。著者によれば、MITのマノリス・ケリス(Manolis Kellis)の研究室の内部AIモデル(言語モデルを含む)が、Leanでの形式化といくつかの導出の確認を手伝った。数学的なアプローチは著者自身のものだと述べている。

2026年4月には、同じ主張についての非形式的な議論が二つ、エルデシュ問題のフォーラムに投稿された。カワダは、この証明とそのアプローチは独自のものであり、形式的に検証された証明としては初めてだと述べている。問いが立てられてから65年、機械が確かめた答えはこうだ。半分、ほぼ確実に。