ایردوش نے 1961 وچ پچھیا۔ ادھ، تقریباً یقینی طور تے

کسے کثیر رقمی دے ہر ضریب لئی سکہ اچھالو: چت +1 دیندا اے، پٹ −1۔ نتیجہ اک بے ترتیب لٹل وڈ کثیر رقمی (random Littlewood polynomial) اے، 1 ± z ± z² ± … ± zⁿ۔ درجہ n دے ہر کثیر رقمی وانگ، ایہدیاں n جڑاں نیں — مختلط سطح (complex plane) دے اوہ نقطے جتھے ایہ صفر دے برابر ہوندا اے۔

1961 وچ ریاضی دان ایردوش نے پچھیا کہ ایہ جڑاں کتھے جاندیاں نیں۔ ہور ٹھیک آکھیئے تاں: جیویں جیویں درجہ ودھدا اے، کیہ بند اکائی ٹکی — رداس 1 والا دائرہ تے اوہدے اندر سبھ کجھ — دے اندر پین والیاں جڑاں دا حصہ، امکان اک نال، بالکل ادھ ول جاندا اے؟ ایہ سوال ایردوش مسئلیاں دی فہرست وچ مسئلہ #522 بن گیا۔ اک کمزور روپ، جو “تقریباً یقینی طور تے” دی تھاں “اُچے امکان نال” سچ اے، یاکیر (Yakir) نے پہلاں ای ثابت کر دتا سی۔

MIT دے سباستیئن کاواڈا ہُن ایردوش دے سوال دا جواب دیندے نیں: ہاں۔

دائرے نال چمبڑیاں

مقالہ ادھ توں ودھ کجھ ثابت کردا اے۔ تقریباً ساریاں جڑاں اکائی دائرے دے دوالے اک پتلی پٹی وچ، 1/n دے درجے دے فاصلے اُتے، اکٹھیاں ہو جاندیاں نیں۔ ایس پٹی نوں متغیر x = n(|z| − 1) نال وڈا کر کے ویکھو، تاں رداس 1 + x/n والے دائرے دے اندر جڑاں دا حصہ اک اکو منحنی اُتے ٹک جاندا اے:

Φ(x) = ½ (1 + coth x − 1/x)

x = 0 اُتے، منحنی بالکل ½ دیندا اے: ایردوش دا جواب۔ ایہو منحنی بے ترتیب ضریباں دے پورے ٹبر لئی سچ اے — سکے اچھالنا، دائرے اُتے بے ترتیب نقطے، گاؤسی عدد۔ ایہو سرخی دا عالمگیر (universal) حصہ اے۔

نتیجہ اوس ویلے وی سچ رہندا اے جدوں وکھرے درجیاں دے کثیر رقمی کسے وی طرح آپس وچ جڑے ہون: اک اک سکہ جوڑ کے بنائے گئے، یا ہر درجے اُتے بالکل نویں سرے توں کڈھے گئے۔ سکیاں لئی، ٹکی دے اندر جڑاں دا n/2 توں وادھا موٹے طور تے n^(3/4) توں تھلے رہندا اے۔

جتھے عالمگیریت مُکدی اے

فیر مقالہ ادھ دے دوالے ننھیاں اتار چڑھاواں ول ویکھدا اے۔ ایتھے ضریباں دا قانون (تقسیم) اہم ہون لگدا اے۔ گاؤسی ضریباں لئی، وادھے دا تغیر (variance) 0.3059 × n وانگ ودھدا اے۔ ہور متشاکل قانوناں لئی، ایہ چوتھے کیومولینٹ (fourth cumulant) ناں دی اک مقدار دے بارھویں حصے جنا کھسکدا اے، جو ایہ ناپدی اے کہ قانون دیاں پوچھلاں کنیاں بھاریاں نیں۔ سکیاں لئی، مستقل 0.3059 − 1/6 بن جاندا اے۔ دس لکھ تیک دے درجے والے 16,384 بے ترتیب کثیر رقمیاں اُتے کمپیوٹر تجربے ایہناں پیشگوئیاں نال میل کھاندے نیں۔

ایہ کیویں ثابت ہویا

دو کلاسیکی اوزار بھارا کم کردے نیں۔ جینسن فارمولا (Jensen’s formula) کسے ٹکی وچ جڑاں دی گنتی نوں اک دائرے دے دوالے کثیر رقمی دے لوگارتھم دی اوسط وچ بدل دیندا اے؛ ایہ اوسط بہت گھٹ کے اکٹھی ہوندی اے۔ اوکھا قدم درجیاں دی اک ٹاویں ٹاویں لڑی توں اکو ویلے ہر درجے تیک اپڑنا اے۔ اتار چڑھاواں لئی، آرگومنٹ اصول (argument principle) جڑاں دے وادھے نوں اک علامت والی گنتی وچ بدل دیندا اے: کثیر رقمی ولوں اکائی دائرے اُتے واہیا اک منحنی کنی واری اک لکیر نوں پار کردا اے۔

مشین نے جانچیا

82 صفحیاں دے مقالے دا ہر وڈا نتیجہ Lean 4 ثبوت مددگار وچ رسمی طور تے تصدیق شدہ اے۔ مسئلہ #522 دا ثبوت Google DeepMind دے Formal Conjectures منصوبے وچ اوہدے رسمی بیان دے حل وجوں منیا گیا، تے اک اکلی فائل کسے نوں وی ایہنوں ویب براؤزر وچ دوبارہ چلاؤن دیندی اے۔ لکھاری لکھدا اے کہ MIT وچ مانولس کیلس (Manolis Kellis) دی لیب دے اندرونی AI ماڈلاں نے، لسانی ماڈلاں سمیت، Lean رسمی بناؤن تے کئی اخذاں دی جانچ وچ مدد کیتی؛ لکھاری آکھدا اے کہ ریاضیاتی پہنچ اوہدی اپنی اے۔

اپریل 2026 وچ، ایسے بیان لئی دو غیر رسمی دلیلاں ایردوش مسئلیاں دے فورم اُتے پائیاں گئیاں۔ کاواڈا آکھدے نیں کہ ایہ ثبوت تے ایہدی پہنچ اصلی نیں، تے ایہ پہلا رسمی طور تے تصدیق شدہ ثبوت اے۔ سوال پچھے جان توں پینٹھ ورھے بعد، مشین ولوں جانچیا جواب ایہ اے: ادھ، تقریباً یقینی طور تے۔